设 A是二阶方阵,特征值分别为λ1=2,λ2=4,其对应的特征向量分别为

Question

设 A是二阶方阵,特征值分别为λ1=2,λ2=4,其对应的特征向量分别为p1=（1 1）p2=（-1 1）设P=(p2,p1),求P^-1AP,A^2及|A|

Answer 1

|A|=λ1λ2=8

显然Ap1=λ1p1=2p1

Ap2=λ2p2=4p2

则AP=A(p2,p1)=(Ap2,Ap1)=(4p2，2p1)=

-4 2 

4 2 

而P=(p2,p1)=

-1 1

1 1

下面用初等行变换来求P^-1AP

当然，还可以用另外一种简便方法：

特征向量p1,p2显然线性无关，因此

显然A可以对角化，P^-1AP=diag(λ2,λ1)=diag(4,2)

=

4 0

0 2

而（P^-1AP）^2=P^-1A^2P

即diag(4,2)^2=P^-1A^2P

则

A^2=Pdiag(4,2)^2P^-1

=Pdiag(16,4)P^-1