一道高数题

Question

如题所述

Answer 1

解：
原式
=(-1/β) ∫(0,+∞) {(x^α)·d[e^(-βx)]}
=(-1/β) {(x^α)·[e^(-βx)] |(0,+∞) - ∫(0,+∞) {[e^(-βx)]·d(x^α)}}
=(-1/β) {(x^α)·[e^(-βx)] |(0,+∞) - α ∫(0,+∞) {[e^(-βx)]·dx}}
=(-1/β) {(x^α)·[e^(-βx)] |(0,+∞) + (α/β)∫(0,+∞) {[e^(-βx)]·d(-βx)}}
=(-1/β) {(x^α)·[e^(-βx)] |(0,+∞) + (α/β)· [e^(-βx)] |(0,+∞)
显然：
当x→+∞时，e^(-βx)是收敛的，此时：e^(-βx)→0
对于(x^α)·[e^(-βx)]项：
lim(x→+∞) (x^α)/[e^(βx)]
符合罗比达法则，因此：
lim(x→+∞) (x^α)/[e^(βx)]
=lim(x→+∞) α[x^(α-1)]/β[e^(βx)]......................... 继续使用罗比达法则
=lim(x→+∞) α(α-1)[x^(α-2)]/β²[e^(βx)]
......................(使用n次罗比达法则，直到α-n<0，其中n=[α]+1)
=lim(x→+∞) α(α-1)...(α-n+1)[x^(α-n)] / (β^n)[e^(βx)]
=0
因此，原式的广义积分是收敛的，且：
原式=(-1/β) (0-0) + (α/β)·(0-1)
= -α/β
当α=0时：
原式=0