摆线的一拱与横轴所围图形的面积是多少？

Question

如题所述

Answer 1

摆线x=a(t-sint)，y=a(1-cost)的拱形图形具有周期性，一个周期为2πa。一般，只要研究其一个周期（一拱）就可以了。

由摆线x=a(t - sint)，y=a(1 -cost)的一拱（0≤t≤2π) 与横轴所围图形的面积为3π*a^2。

解：根据定积分求面积公式，以x为积分变量，可得摆线的一拱与横轴所围图形的面积S为：

S=∫|y| dx=∫a(1 -cost)d(a(t - sint))

=∫a^2(1 -cost)^2dt

又由于摆线的一拱内，0≤t≤2π，所以面积为

S=∫(0，2π)a^2*(1 -cost)^2dt

=a^2*∫(0，2π)(1-2cost+(cost)^2)dt

=a^2*∫(0，2π)1dt-2*a^2*∫(0，2π)costdt+a^2*∫(0，2π)(cost)^2dt

=a^2*∫(0，2π)1dt-2*a^2*∫(0，2π)costdt+1/2*a^2*∫(0，2π)(1+cos2t)dt

=3/2*a^2*∫(0，2π)1dt-2*a^2*∫(0，2π)costdt+1/2*a^2*∫(0，2π)cos2tdt

=3/2*a^2*(2π-0)-2*a^2*(sin2π-sin0)+1/4*a^2*(sin4π-sin0)

=3π*a^2

扩展资料

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C