探究边长为整数的十个不同正方形的面积和为1110的最大正方形的最小周长为

Question

探究边长为整数的十个不同正方形的面积和为1110的最大正方形的最小周长为

Answer 1

解：由题意知，要使最大正方形的周长为最小，则应使最大正方形的边长与其它正方形的边长接近，
1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6，
n(n+1)(2n+1)/6-(n-9)(n-8)(2n-17)/6=1110，
n(n+1)(2n+1)-(n-9)(n-8)(2n-17)=6660，

2n³+3n²+n-2n³+34n²-144n+17n²-289n+1224=6660，
54n²-432n-5436=0，

3n²-24n-302=0，

解得n≈14.8，

若n=14，则5²+6²+7²+……+14²=985<1110，不合题意，
6²+7²+8²+……+15²=1185，
5²+6²+7²+8²+9²+11²+12²+13²+14²+15²=1110，
∴符合题意的最大正方形的最小周长为15×4=60。