矩阵的秩小于N，那么矩阵的系数行列式等于0，如何理解？

Question

如题所述

Answer 1

矩阵的秩就是矩阵的最大非零子式的阶数。意思就是，例如5阶矩阵A，秩为4，说明A的5阶行列式为0，4阶行列式存在不为0。矩阵的秩小于N，说明N阶行列式为0。对于线性代数概念的理解掌握，是学习的基础。

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

扩展资料：

系数矩阵常常用来表示一些项目的数学关系，比如通过此类关系系数矩阵来证明各项目的正反比关系。

矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra，Rb}。

当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。

参考资料来源：百度百科——矩阵的秩

Answer 2

矩阵的秩的定义是什么？ 想必是不知道的。

矩阵的秩就是矩阵的最大非零子式的阶数。

意思就是，例如5阶矩阵A，秩为4，说明A的5阶行列式为0，4阶行列式存在不为0.

矩阵的秩小于N，说明N阶行列式为0.

对于线性代数概念的理解掌握，是学习的基础。

newmanhero 2015年5月9日10:13:10

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Answer 3

秩小于n的n阶矩阵的行列式一定为零。

当m不等于n时，mxn矩阵没有行列式。

任何方阵都可以通过初等行变换转化为上三角阵。

上三角阵的行列式为0当且仅当主对角线上的元素中有0。

n阶上三角阵的秩 = n - 主对角线上0的个数。

初等行变换 = 左乘(可逆)初等矩阵。于是初等行变换保秩，并且使得变换前后的矩阵的行列式同为0或同不为0。

这样，A的行列式为0当且仅当对应的上三角阵秩小于n，也即A的秩小于n。

对于一个n阶的n*n矩阵A来说，

如果其行列式|A|=0，

则说明矩阵的秩小于n，即非满秩矩阵

而如果|A|≠0，无论是大于还是小于0，

都说明矩阵的秩就等于n

实际上行列式|A|=0，

就说明矩阵A在经过若干次初等变换之后存在元素全部为0的行，

所以其秩R(A)<n< p="">

而行列式|A|≠0，即经过若干次初等变换之后不存在元素全部为0的行，

其秩R(A)=n

Answer 4

从几何方面；秩小于N，则行列式的值表示N-1维的面，或N-2维的点，显然其体积为0，即行列式为0

从代数角度，矩阵秩小于N，则各列线性相关，则等同于出现两个相同的列，此时根据代数运算显然为0

Answer 5

因为矩阵的秩小于n，则一定可以通过初等变换化为其中一行（列）或多行（列）为零的情况，初等行（列）变换是左（右）乘一初等矩阵，进行多次行（列）变换就是乘多个初等矩阵，因为矩阵一定可以通过初等变换化为某（多）行（列）为零的矩阵，故矩阵可写为一些初等矩阵左乘（行变换）某（多）行（列）为零的矩阵再右乘（列变换）一些初等矩阵的形式（若仅通过一种变换可以仅左乘或右乘），如下:AA1A2…BCC1C2…，而由于|AB|=|A||B|所以|原式|=|A||A1||A2|…|B||C||C1||C2|…其中，由于B的行或列一定有全为零的，所以|B|=0，故|原式|为零，即矩阵得行列式为零。