1.行列式为零的矩阵，它的秩也为零吗？ 2.b能由a1...an线性表示，为什么就有了r(a1,..,an)=r(a1,..,an,b)?

Question

如题所述

Answer 1

1、行列式为零，其秩不一定为零，如【1,2；1,2】的值为零，秩为1
2、b能由a1...an线性表示，证明a1...an，b 是线性相关的，其秩必小于等于n，由于.b能由a1...an线性表示，所以a1...an，b 的最大线性无关的组合必定可以由a1,..,an中的元素表示，所以
r(a1,..,an)=r(a1,..,an,b）追问

问题1有没有正面的证明啊？还是只能举个反例？

3.设A为n（n>=2）阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若对任意n维向量α均有A*α=0，则齐次线性方程组AX=0的基础解系所含向量的个数k必定满足a.k=0 b.k=1 c.k>1 d.k=n

Answer 2

1.行列式为零的n阶矩阵，它的秩<n，不一定为0
2. 你设想有n个线性方程组成的方程组，每个方程的系数分别为向量a1...an
现在b是a1...an的线性组合，相当于与第n+1个方程是前面n个方程的线性组合
那么n个线性方程组成的方程组的系数矩阵的秩=n+1个方程组成的方程组的系数矩阵的秩追问

问题1有没有正面的证明啊？还是只能举个反例？

3.设A为n（n>=2）阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若对任意n维向量α均有A*α=0，则齐次线性方程组AX=0的基础解系所含向量的个数k必定满足a.k=0 b.k=1 c.k>1 d.k=n

Answer 3

1. 行列式|A|为0 当且仅当 r(A)<n. (但r(A)不一定等于0).

2. 因为 b能由a1...an线性表示
所以 a1...an 的一个极大无关组 仍是 a1...an,b 的极大无关组
而向量组的秩即极大无关组所含向量的个数
所以有 r(a1,..,an)=r(a1,..,an,b).追问

问题1有没有正面的证明啊？还是只能举个反例？

3.设A为n（n>=2）阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若对任意n维向量α均有A*α=0，则齐次线性方程组AX=0的基础解系所含向量的个数k必定满足a.k=0 b.k=1 c.k>1 d.k=n

追答

这是定理结论
但不知你教材采用讲授的方法
但这个结论你应该知道: 矩阵的秩r(A)为A的最高阶非零子式的阶

由已知条件必有 A* = 0. 所以 r(A) 1.

PS. 新问题另提问哈

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