问一道数学题，关于函数周期的。求详解，谢谢了。

Question

如题所述

Answer 1

已知：
f(x)R上为奇函数，得:f(-x)=-f(x)，f(0)=0
f(x+2)为偶函数 ，得:f(-(x+2))=f(x+2)
说明：“f(x1)在向左平移两个单位后，函数f(x0+2)为偶函数”，这句话表明了，函数图像在未向左平移前必定关于x1=a左右对称，而向左平移后新函数A(x0)则关于x0=0左右对称。平移对对称轴的影响：x1-2=a-2=x0，新函数关于x0=0对称，那么未平移前，函数图像必定关于x1=2左右对称。再推论：任意平移b单位，新函数图像必定关于x0=±b左右对称（只需要考虑对称轴的变化）（这个结论最关键）
（随意重新向右平移b个单位，不要用原来的情况”向左平移两个单位“因为向左平移只会求得x》8时候的f(x)等式关系，而我们可以利用的只有f(1)、f(0)）那么f(x1)向右平移4个单位，新函数f(x0-4)(或者称为A(x0))图像必定关于x0=6左右对称。
求f(8)
因为函数A（x0）与f(x0-4)之间的关系：f(8)=f(12-4)=A(12)
因为A(X)函数对称性：A(12)=A(0)
因为函数A（x0）与f(x0-4)之间的关系：A（0）=f(-4)
而原函数f(x)在R上位奇函数则f(-4)=-f(4)

因为函数A（x0）与f(x0-4)之间的关系：f(4-4)=A(4)
因为A(X)函数对称性：A(4)=A(8)
因为函数A（x0）与f(x0-4)之间的关系：A(8)=f(8-4)=f(4)
综上所述：f(8)=f(12-4)=A(12)=A(0)=-f(4)=A(8)=A(4)=f(4-4)=f(0)
而原函数f(x)在R上位奇函数则f(0)=0
故f(8)=0

求f(9)
因为函数A（x0）与f(x0-4)之间的关系：f(9)=f(13-4)=A(13)
因为A(X)函数对称性：A(13)=A(-1)
因为函数A（x0）与f(x0-4)之间的关系：A（-1）=f(-1-4)
而原函数f(x)在R上位奇函数则f(-5)=-f(5)
因为函数A（x0）与f(x0-4)之间的关系：f(9-4)=A(9)
因为A(X)函数对称性：A(9)=A(3)
因为函数A（x0）与f(x0-4)之间的关系：A(3)=f(3-4)
而原函数f(x)在R上位奇函数则f(3-4)=-f(1)
已知f(1)=1
则A(3)=-f(1)
综上所述:f(9)=f(13-4)=A(13)=A(-1)=-f(5)=-A(9)=-A(3)=-(-f(1))=1
问:
f(8)+f(9)=0+1=1
故选D。
思路：f(8)f(9)若能求，必定与已知的f(a)的值有关。只知道函数的奇偶性对应关系是不能解的，若能判断出原函数平移后的奇偶性对应关系，那么就可以利用"平移后的函数和原函数的对应关系等式"和"奇偶性函数对应关系等式"联立起来，循环求解（因为平移b个单位中的b的范围是全体实数，形成的新函数的量，足够你循环的了）。

Answer 2

f(x+2)=f(-x+2)
f(x+4)=f(-x)
你写的是对的。
f(8)=f(4+4)=f(-4)=-f(4)=-f(0+4)=f(0)=0
f(9)=f(5+4)=f(-5)=f(5)=f(1+4)=f(-1)=-f(1)=-1
B追答

？

？

Answer 3

接着你的步骤往下写
-f(x)=f(x+4)
f(x)=-f(x+4)
则
f(x+4)=-f(x+8)
f(x)=-f(x+4)=f(x+8)
所以f(x)周期为8
f(8)+f(9)=f(0)+f(1)
f(0)=-f(-0),解得f(0)=0
所以原式=0+1=1

补充一下,选择题不需要过程,画图辅助解题会快些.
作图易知,原点为中心对称点,直线x=2为轴对称线
则x=-4也为轴对称线,从x=-2至x=2为半个周期,
则周期=2(2-(-2))=8

Answer 4

你不是都得出f（x+4)＝f(-x)了么
f(x+4)=f(-x)=-f(x)
所以括号里，减一个4，函数值变相反数
所以f(8)＝-f(4)＝f(0)＝0
f(9)=f(1)＝1

Answer 5

f(x+2)=f(-x+2)
f(x+4)=f(-x)
f(0)=-f(0)=0
f(8)=f(4+4)=f(-4)=-f(4)=-f(0+4)=f(0)=0
f(9)=f(5+4)=f(-5)=-f(5)=-f(1+4)=-f(-1)=f(1)=1