数学均值定理

Question

如题所述

Answer 1

追答

望对你的分析有帮助，祝你学习进步！

均值定理：
知知x，y∈R+，x+y=S，x·y=P
　　(1)如果P是定值，那么当且仅当x=y时，S有最小值；
　　(2)如果S是定值，那么当且仅当x=y时，P有最大值。
或当a、b∈R+，a+b=k（定值）时，a+b≥2√ab (定值）当且仅当a=b时取等号 。 （3）设X1，X2，X3，……，Xn为大于0的数。
则X1+X2+X3+……+Xn≥n乘n次根号下X1乘X2乘X3乘……乘Xn 。

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Answer 2

证明a+b≥2√ab
即证明a+b-2√ab≥0
∵a＞0,b＞0
∴可表示√a,√b
a+b-2√ab＝（√a-√b）∧2≥0
∴a+b≥2√ab

Answer 3

均值定理，别称：基本不等式，均值不等式。
均值定理：如果a>0,b>0,那么a+b≥2√ab (当且仅当a=b取等号）。
高中数学中基本不等式的重要知识：常用于求值域，不等式的证明等。
使用时注意要同时满足三个条件：一正，二定，三取等。
例题：
（1）， 当X＞1时,X+1/(X-1)的最小值是多少?,此时X=多少?
（2）， 1-X²-1/4X²的最大值是多少?
解：
（1）
∵x>1
∴x-1>0
∴X+1/(X-1)
=(x-1)+1/(X-1)+1≥2√(x-1)1/(X-1)+1=3,
∵当(x-1)=1/(X-1)时x=2或x=0(舍）取等号，
∴所求最小值是3,此时X=2.
（2），
∵x²>0,1/x²>0,
∴X²+1/（4X²）≥2√（X²·1/（4X²））=1
∵当X²=1/（4X²）时，x=±√2/2取等号,
∴X²+1/（4X²）≥1
∴-(X²+1/（4X²）)≤-1
∴ 1-X²-1/(4X²)≤0
∴所求最大值是0.

Answer 4

先列出一些公式: 1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 　　2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an) 　　3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n 　　4、平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n] 　　这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 　　a1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号再给些例子对照下: 　例一 证明不等式：2√x≥3-1/x (x>0) 　　证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*3次√(√x)*(√x)*(1/x)=3 　　所以，2√x≥3-1/x 　　例二 长方形的面积为p，求周长的最小值　　解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p 　　因为a+b≥2√ab，所以2(a+b)≥4√ab=4√p 　　周长最小值为4√p 　　例三 长方形的周长为p，求面积的最大值　　解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p 　　因为a+b=p/2≥2√ab，所以ab≤p^2/16 　　面积最大值是p^2/16