如图，以原点O为顶点，以y轴为对称轴的抛物线E的焦点为F（0，1），点M是直线l：y=m（m＜0）上任意一点，

Question

如图，以原点O为顶点，以y轴为对称轴的抛物线E的焦点为F（0，1），点M是直线l：y=m（m＜0）上任意一点，过点M引抛物线E的两条切线分别交x轴于点S，T，切点分别为B，A．（I）求抛物线E的方程；（Ⅱ）求证：点S，T在以FM为直径的圆上；（Ⅲ）当点M在直线l上移动时，直线AB恒过焦点F，求m的值．

Answer 1

解：（I）设抛物线E的方程为x 2 =2py（p＞0）， 依题意 ， 所以抛物线E的方程为x 2 =4y． （Ⅱ）设点A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）．x 1 x 2 ≠0，否则切线不过点M ∵ ，∴切线AM的斜率 ， 方程为 ，其中 令y=0，得 ，点T的坐标为 ， ∴直线FT的斜率 ， ∵ ， ∴AM⊥FT，即点T在以FM为直径的圆上； 同理可证点S在以FM为直径的圆上， 所以S，T在以FM为直径的圆上． （Ⅲ）抛物线x 2 =4y焦点F（0，1），可设直线AB：y=kx+1． 由 ， 则x 1 x 2 =﹣4． 由（Ⅱ）切线AM的方程为 过点M（x 0 ，m）， 得 ， 同理 消去x 0 ，得 ∵x 1 ≠x 2 ，由上x 1 x 2 =﹣4 ∴ ，即m的值为﹣1．

略