应该是“登ってきました”、整句意为：“在山上一吃便当，后面登上来了许多孩子。”（句中的“---たら---た”是个句式搭配，中文可译为“一 ---- 就 ---”）
补助动词“---てきました”，表示动作从远到近，即从山脚朝着山上攀登。
而如是“登っていきました”（则意为：登着登着越来越远）了。根据整个语境，这是不可能的现象。
为了更使你全面了解「ていく」和「てくる」的多种用法，我把以前发表过的小文，再写在下面，供你参考。（你如初学就只看「ていく」和「てくる」的“补助动词”的用法好了，因为你所提的问题属于“补助动词”的用法。最后三小段不用去看。）
补助动词「ていく」和「てくる」 使用上的迷茫：
例如：物価がだんだん上がっていきましたが、给料は同じです。（〇上がってくる）/物价渐渐上涨，可是工资依然如故。/ バスは 徐々に 込んで行きました。（〇込んでくる）/公交车渐渐得拥挤起来了。
以上两句的“ていく”用错了，应为“てくる”。因为“ていく”除了物体从近到远，还可表示事物现象从现在往将来的逐步发展。而“てくる”除了表示物体从远到近外，还表示从过去延续到现在的现象状态，以及某种现象的出现或发生。这两句都应用“てくる”即表示“某种现象的出现或发生”（即事物由隐形的量变发展到感觉得到的质变）
而“ていく”的正确用法应如下（表示事物现象从现在到将来的逐步持续发展或物体由近到远）：张さんのような仲良しの友达と これから 付き合っていくつもりです。（像小张这样的好朋友，今后还要交往下去。）/ 时代が変わるにつれて 人々のライフスタイルも変わっていくでしょう。（随着时代的变迁，人们的生活方式也会不断变化吧。）/彼は定年になってから 故郷へ帰っていきました。（他退休后回老家了）
又，除了上面举例的作“补助动词”外，还有接续助词て+いく 或 て+くる的用法。例如，1、外で食事してきます。/在外面吃了饭回来。 2、外で食事していきます。/ 在外面吃了饭再去。3、学校へ行く途中，本屋に寄っていきました。/上学途中顺便弯了一下书店，再去上学。（这里体现的是接续助词て表示动作前后顺序的用法）。如下句也是同样表达，ちょっと、あそこの売店へタバコを买ってきます。/我去那家小店买包烟来。
还有下列て+いく/て＋くる（て表示方法，手段，状态）的用法：1，バスもタクシーもないので 彼は歩いていきました。/ 公共汽车，出租车都没有，只好走着去。,2，结婚式へ着物を着ていくつもりです。/我准备穿和服去参加婚礼,（此时可改换成：“结婚式へ着物で行くつもりです。”）3，バスが込んでいたので、ずっと立ってきました。（公交车很挤，所以一直站着过来的。）
从上面分析，「ていく」和「てくる」在具体应用中，我认为有作为“补助动词使用”（其动词本身往往失去独立动词功能，仅对谓语的语义起补充作用）和“接续助词て＋动词くる、いく”使用两种情况，就基本能看清它的应用脉络了。
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