什么是定积分的精确定义?

Question

如题所述

Answer 1

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！

扩展资料：

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

定积分的一般定理

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

参考资料来源：百度百科-定积分

Answer 2

设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，J∈R. 如果对任意ε>0，都存在δ>0，使得对[a,b]的任何分割
T：a=x0<x1<x2…<x(n-1)<xn=b
以及任取介点集{ξi | x(i-1)≤ξ≤xi，i=1,2,…,n}，只要||T||<δ，就有
|∑(i=1,n) f(ξi)△xi - J| < ε，
那么称f(x)在区间[a,b]上可积，数J称为f(x)在[a,b]上的定积分，记作
J=∫(a,b) f(x) dx
其中，函数f(x)成为被积函数，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间，a,b分别称为该定积分的积分下限以及积分上限
这个定义是Riemann首先提出的，因此这种定义下的定积分也称为Riemann积分
这就是定积分的定义
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