旋转体体积怎么求？

Question

如题所述

Answer 1

1、直线x=2与曲线y=x^3交点坐标是(2,8) 

绕OX轴旋转一周的体积是
V1=∫(0,2)π(x^3)^2dx
=∫(0,2)πx^6dx
=πx^7/7|(0,2)
=128π/7 

（1）绕OY轴旋转一周的体积
V2=π*2^2*8-∫(0,8)πx^2dy
=32π-∫(0,8)πy^(2/3）dy
=32π-3π/5*y^(5/3)|(0,8)
=64π/5 

2、旋转体的体积等于上半部分旋转体体积的2倍 

V=2∫(0,R)π[(x+b)^2-(-x+b)^2]dy
=8bπ∫(0,R)xdy
令x=Rcosa,y=Rsina,(a∈[0,π/2])
V=8bπ∫(0,π/2)Rcosa*Rcosada
=4bR^2π∫(0,π/2)(cos2a+1)da
=4bR^2π[a+sin2a/2]|(0,π/2)
=4πbR^2(π/2)
=2bπ^2R^2

扩展资料：

旋转体体积的几何公式：

v=2π G S 其中G为旋转平面重心到旋转轴的距离，S为旋转平面的面积，注意旋转面需要全部转换到旋转轴的同一侧 。证明方法可以用几何方法，初中知识就可以证明。