证明函数可导的方法有导数定义法、求导公式法。
1、导数定义法：根据导数的定义，如果函数f（x）在点x处的左右导数都存在且相等，则函数f（x）在点x处可导。因此，如果我们可以证明函数f（x）在点x处的左右导数都存在且相等，那么就可以证明函数f（x）在点x处可导。
例如，函数f（x）=|x|在点x=0处可导。证明如下：
当自变量x从左侧趋近于0时，即x=-h，lim（h→0⁻）[f（x+h）-f（x）]/h=lim（h→0⁻）[|（x+h）|-|x|]/h=lim（h→0⁻）[-h-（-h）]/h=0。
当自变量x从右侧趋近于0时，即x=h，lim（h→0⁺）[f（x+h）-f（x）]/h=lim（h→0⁺）[|（x+h）|-|x|]/h=lim（h→0⁺）[h-h]/h=0。
因此，函数f（x）=|x|在点x=0处可导，且导数为0。
2、求导公式法：对于一些基本的初等函数，如幂函数、指数函数、对数函数等，可以通过求导公式来证明它们在特定点处可导。
例如，对于幂函数f（x）=x³，我们可以证明它在点x=0处可导。因为f'（x）=3x²，所以f'（0）=0。因此，函数f（x）=x³在点x=0处可导，且导数为0。
导数在生活中的应用：
1、在经济学中，成本、收益、效用等函数都是导数的重要应用领域。比如，成本函数C（q）的导数C'（q）表示边际成本，也就是每增加一单位产量所增加的成本。
这个概念可以帮助企业制定最优的生产策略，实现成本最小化。同样，收益函数R（q）的导数R'（q）表示边际收益，也就是每增加一单位产量所增加的收益。这个概念可以帮助企业理解何时增加产量可以获得最大的收益。
2、在物理学中，速度、加速度、力等概念都可以用导数来表示。比如，物体的速度函数v（t）的导数v'（t）表示物体的加速度，也就是物体在每单位时间内速度的变化量。
这个概念可以帮助我们理解物体的运动状态如何随时间变化。在力学中，物体的受力函数F（x）的导数F'（x）表示物体在每单位距离上所受的力，也就是物体所受力的变化率。这个概念可以帮助我们理解物体在不同位置上所受的力的变化情况。