这是同济第五版
线性代数,P132页例16
规范形里只有平方项,现在没有平方项,自然要想方设法构造了.可根据x1x2或x1x3或x2x3构造,用
平方差公式.
只要能够出现平方项,
线性变换可以任意,只要可逆就行.比如假设x1=y1+2y2,x2=y1-2y2或x1=2y1+y2,x2=2y1-y2.最后的答案不唯一.一般考试不会出现这种
配方法,都是让你求
正交变换,结果唯一
把线性变换写成矩阵的形式X=CY，矩阵C可逆
令 x1=y1+y2,x2=y1-y2,x3=y3
则 f = 2(y1+y2)(y1-y2)+2(y1+y2)y3-6(y1-y2)y3
= 2y1^2-4y3y1-2y2^2+8y3y2
= 2(y1-y3)^2-2y2^2-2y3^2+8y3y2
= 2(y1-y3)^2-2(y2-2y3)^2+6y3^2
= 2z1^2 -2z2^2 +6z3^2 -- 标准形
= w1^2 + w2^2 - w3^2 -- 规范型
标准形不是唯一的
规范型唯一,由正负惯性指数唯一确定(不考虑顺序)