1+X+X^2+....................X^n=1/(1-x)的证明

Question

现在学高数的，幂级数~怎么证明~

Answer 1

这个在幂级数里是按做已知处理的
事实上来源于高中的无穷等比数列,
等比数列求和公式S=a1(1-q^n)/(1-q)
楼上证得很好

所给出的1+X+X^2+...+X^n+...=1/(1-x)
是上述等比数列a1=1,|q|<1的特殊情况
由极限知识 {n→无穷}limq^n=0
也即S=1/(1-q)

若要从幂级数角度证明,则对f=1/(1-x)
在x=0处求n阶导数得f(n)(0)=(-1)^(n-1)*(0-1)^(-n-1)*n!=n!,对n=0也适合
作泰勒展开得
f={n:0→无穷}∑[f(n)(0)/n!]*(x-0)^n
=∑x^n=1+x+x^2+...+x^n+...

另外注意一下 级数是无穷多项,x^n后面一定要加省略号

Answer 2

x≠1
S(n)=1+X+X^2+....................+X^n
XS(n)=X+X^2+....................+X^n+X^(n+1)

XS(n)-S(n)=X^(n+1)-1

S(n)=[X^(n+1)-1]/(x-1)