设集合A={x|x²+4x=0},B={x²+2(a+1)x+a²-1=0,a∈R},试求：

Question

设集合A={x|x²+4x=0},B={x²+2(a+1)x+a²-1=0,a∈R},试求：①若A∩B=B,求a的值 ②若A∪B=B,求A的值

Answer 1

x²+4x=0
x（x+4）=0
x=0或-4
A={0,-4}

x²+2(a+1)x+a²-1=0
(x+(a+1))^2-2a-2=0
(x+(a+1))^2=2(a+1)【1】
当2(a+1)<0，即a<-1时，无实数解，此时B是空集
当2(a+1)=0，即a=-1时，有重根，x=0，此时B={0}
当2(a+1)>0，即a>-1时，有两个不同的根，x=±√(2(a+1))-(a+1)，
此时B={√(2(a+1))-(a+1), -√(2(a+1))-(a+1)}

①若A∩B=B
则
当B是空集时，显然A∩B=B
此时a<-1，a可以取比-1小的任意实数

当B是{0}时，显然A∩B=B
此时a=-1

当B是{0,4}时，即A=B, 显然A∩B=B
此时a>-1，且√(2(a+1))-(a+1)=0
-√(2(a+1))-(a+1)=-4
解得a=1

综上所述，a可以是1或者，不大于-1的任意实数

②若A∪B=B

则B=A={0,4}
根据上述讨论，得知a=1

Answer 2

如图所示

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