钝角(大于120度)三角形时费马点的证明

Question

较有针对性的回答有加分
下面有的回答是从某初简单复制过来的吧？能否把缺省的空补充完整呢

请数学高手和达人们把缺省的空补充完整和正确
请数学高手和达人们把缺省的空补充完整和正确
请数学高手和达人们把缺省的空补充完整和正确

Answer 1

哦~ 对不起! 这下人丢大了:( 我前面的回答是凭多年前的印象胡说的。被你一提醒想起来了。这错印象好象就是在当初证明三个内角都小于120度的三角形费马点的过程中留下的。是中间步骤中有这么点印象。你是对的，就是那个钝角。再次抱歉！
对，这个证明是完全不同的。我再想想看。想到了一定立即告诉你。不过不一定想得起来。许多年前了。怕你按我前面的胡说去想，耽误时间，所以先来打个招呼。对不起啦！
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啊!!! 成功啦! 这下总算挽回点脸面:p 你一定已经不抱什么希望了吧? 其实他们这网页我也早就查到了。还不止一处。不知道怎么都是这副模样，没一个全的。看来看去也猜不出里面的空是什么,就没贴过来。不过今天我还是以它为范。画来画去总算弄出来了。我把胡乱涂鸦的草图贴到相册上去。光线关系拍得不好。但可以看清。如果你无法打开请告诉我。再想办法。

http://newphoto.1t1t.com/usr/dd/129326/1164873400_0.jpg

简单思路是这样的：

△ABC的∠A＞120°，P为任一点 （这里原来的证明有个漏洞，它说‘P为△ABC内部任一点’，没给出为什么不能象我先前胡言的那样在外面。好在我试了下在外面也可这样证法）
旋转 △BAP 至 B'A 与 CA 一直线，成 △B'AP' 全等于 △BAP
因∠A＞120°，故∠B'AB＜60°，
亦得∠PAP'＜60°；从而等腰三角形P'AP
中∠AP'P＞60°，故 AP＞PP'
则 CP + PB + PA ＞ CP + PP' + BP'＞ CA + AB'
即 CP + PB + PA ＞＞ CA + AB

：））） 你看里面什么问题吗？

楼上 AsongMyouyu 说才被解决的是费马大定理，跟这里的问题风马牛不相及。是这个还了得?！世界顶尖数学家一百多年都没能证出的。我们在这百度上讨论啊？！

Answer 2

1)若三角形abc的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
证明过程那是相当的难。

Answer 3

记得前几年这个问题才被一个美籍华人数学家证明了，是谁记不清了，不过你的这个问题我记得答案，大于120度时没有费马点，最近的路线就是从那个钝角点上绕过

Answer 4

△ABC的∠A＞120°，P为△ABC内部任一点
延长 至B'，使 =
做∠B'AP'=∠BAP，取 =
故△B'AP' △BAP，得 = 。
於是 + + = + + ，
(2) 但因∠A＞120°，故∠B'AB＜60°，
亦得∠PAP'＜60°；从而等腰三角形P'AP
中∠AP'P＞60°，故 ＞
则 + + ＞ + + ＞ + ，即 + + ＞ +
亦即：如果有一点P与A重合，则P点即是到A、B、C三点距离之和最小的点。
(3) 证得：若已知三角形有一内角大於或等於120°，则费马点即为该内角的顶点。

Answer 5

Ⅱ.一般费马点的探讨仅限於三角皆小於120°三角形内部，那麼如果讨论任一角大於或等於120°之三角形，是否能找到一点至三顶点距离和最短？（参考图四）
(1) △ABC的∠A＞120°，P为△ABC内部任一点
延长 至B'，使 =
做∠B'AP'=∠BAP，取 =
故△B'AP' △BAP，得 = 。
於是 + + = + + ，
(2) 但因∠A＞120°，故∠B'AB＜60°，
亦得∠PAP'＜60°；从而等腰三角形P'AP
中∠AP'P＞60°，故 ＞
则 + + ＞ + + ＞ + ，即 + + ＞ +
亦即：如果有一点P与A重合，则P点即是到A、B、C三点距离之和最小的点。
(3) 证得：若已知三角形有一内角大於或等於120°，则费马点即为该内角的顶点。
Ⅲ.三内角皆小於120°的三角形才存在费马点，但在日常生活中不止三角形需要找到一点到各顶点距离和最小ㄚ！也就是如果改变形状后是否能找到一点P点，使得P点至顶点距离和最小，我们以下就最简单的四边形先做讨论（参考图五）。