在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。
(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
费马点的计算：如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
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要使确定的P点产生三等角，只有当三角形的每个内角都小于120。时才存在。这样，费马点究竟在哪儿，就有以下答案：
若已知三角形的每个内角都小于120°，则所求的点即是与三顶点构成三等角的点：若已知三角形有一内角大于或等于120°，则所求的点是这个三角形的最大内角的顶点。
以上内容参考：百度百科-托里拆利点
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第1个回答 2013-09-18
费马点是指在三角形所在的平面内,到三角形三个顶点的距离的和最小的点. (1).三内角皆小於120°的三角形ABC的费马点，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点. (2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此角的顶点就是所求.
对于任意三角形△ABC，若三角形内某一点P令PA + PB + PC三线段有最小值的一点，P为费马点。
作法
* 当三角形的内角都小于120度时
o 向外做三个正三角形△ABC'，△BCA'，△CAB'
o 连接CC'、BB'、AA'
* 当有一个内角不小于120度时，费马点为此角对应顶点。
费马点的另外一种解法 :
在一块理想的（水平光滑）木板上画上要研究的
符合条件的三角形（任意顶角小于120度）
在三个顶点和费马点处打洞（无限小，壁光滑）
用三根绳子分别系上三个同样质量的物体，穿过
三个顶点的洞再打个结系在一起。（结当然也是理想的啦，无限小）
松手让整个系统自由运动。那么，绳结一定会落在
费马点（能量最低原则保证在桌面上的绳子总长度最短）
然后，由于是三个大小相同的矢量在平面上平衡，（三个物体质量一样）
所以三根绳子之间的夹角均为120度。
若P是三角形ABC内的一点,那么就分别过A点,B点,C点作PA,PB,PC的垂线,使之构成新的三角形,然后你就可以证明只有当PA,PB,PC每两条直线所成角为120度时,PA+PB+PC的和最小
对于任意三角形△ABC，若三角形内某一点P令PA + PB + PC三线段有最小值的一点，P为费马点。
作法
* 当三角形的内角都小于120度时
o 向外做三个正三角形△ABC'，△BCA'，△CAB'
o 连接CC'、BB'、AA'
* 当有一个内角不小于120度时，费马点为此角对应顶点。
费马点的另外一种解法 :
在一块理想的（水平光滑）木板上画上要研究的
符合条件的三角形（任意顶角小于120度）
在三个顶点和费马点处打洞（无限小，壁光滑）
用三根绳子分别系上三个同样质量的物体，穿过
三个顶点的洞再打个结系在一起。（结当然也是理想的啦，无限小）
松手让整个系统自由运动。那么，绳结一定会落在
费马点（能量最低原则保证在桌面上的绳子总长度最短）
然后，由于是三个大小相同的矢量在平面上平衡，（三个物体质量一样）
所以三根绳子之间的夹角均为120度。
若P是三角形ABC内的一点,那么就分别过A点,B点,C点作PA,PB,PC的垂线,使之构成新的三角形,然后你就可以证明只有当PA,PB,PC每两条直线所成角为120度时,PA+PB+PC的和最小
第2个回答 2013-09-18
能求出P点到个顶点的距离、设三角形ABC BC=a,CA=b,AB=c 在里面取点P ∠BPC=α、∠CPA=β、∠APB=γ (α+β+γ=2π)
（1） 求PA＝x
设补助角∠PAB=θ 则 ∠PAC=A-θ
有正弦定理 在△PAB c/sin(γ)=x/sin(π-γ-θ)=x/sin(γ+θ)
在△PAC b/sin(β)=x/sin(π-β-A+θ)=x/sin(β+A-θ)
用两角之和公式得关于θ的方程式
b*sin(β+A)sin(γ)-c*sin(β)sin(γ)
tanθ=----------------------------------
c*cos(γ)sin(β)+b*cos(β+A)sin(γ)
在把原来的方程式展开用sin^2(θ)+cos^2(θ)=1 解关于x
b^2*c^2*sin^2(α-A)
x^2=----------------------------------------------------
b^2*sin^2(γ)+c^2*sin^2(β)+2bcsin(β)sin(γ)cos(α-A)
设α=β=γ=120度，把sin(A)、cos(A)用a,b,c表示 求出x
同理能求出PA=x,PB=y,PC=z
(它们与a,b,c之间有6変数6次同次式＝0)本回答被网友采纳
（1） 求PA＝x
设补助角∠PAB=θ 则 ∠PAC=A-θ
有正弦定理 在△PAB c/sin(γ)=x/sin(π-γ-θ)=x/sin(γ+θ)
在△PAC b/sin(β)=x/sin(π-β-A+θ)=x/sin(β+A-θ)
用两角之和公式得关于θ的方程式
b*sin(β+A)sin(γ)-c*sin(β)sin(γ)
tanθ=----------------------------------
c*cos(γ)sin(β)+b*cos(β+A)sin(γ)
在把原来的方程式展开用sin^2(θ)+cos^2(θ)=1 解关于x
b^2*c^2*sin^2(α-A)
x^2=----------------------------------------------------
b^2*sin^2(γ)+c^2*sin^2(β)+2bcsin(β)sin(γ)cos(α-A)
设α=β=γ=120度，把sin(A)、cos(A)用a,b,c表示 求出x
同理能求出PA=x,PB=y,PC=z
(它们与a,b,c之间有6変数6次同次式＝0)本回答被网友采纳
第3个回答 2019-03-24
[编辑本段]费马点定义 在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的
费马点
。
(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
[编辑本段]费马点的判定 （1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点P,若PA+PB+PC有最小值,则P为费马点。
费马点的计算
（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
[编辑本段]证明 我们要如何证明费马点呢：
费马点证明图形
(1)费马点对边的张角为120度。
△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,
△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B
同理可得∠CBP=∠CA1P
由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度
同理,∠APB=120度，∠APC=120度
(2)PA+PB+PC=AA1
将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度
又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，
又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。
(3)PA+PB+PC最短
在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1<A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。
平面四边形费马点
平面四边形中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较容易研究。
（1）在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。
费马点
（2）在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点D（P）。
经过上述的推导，我们即得出了三角形中费马点的找法：
当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。
[编辑本段]费马点性质：
费马点 （1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。
特殊三角形中：
(2).三内角皆小于120°的三角形，分别以
AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.
(3).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.
(4)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合
费马点
。
(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
[编辑本段]费马点的判定 （1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点P,若PA+PB+PC有最小值,则P为费马点。
费马点的计算
（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
[编辑本段]证明 我们要如何证明费马点呢：
费马点证明图形
(1)费马点对边的张角为120度。
△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,
△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B
同理可得∠CBP=∠CA1P
由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度
同理,∠APB=120度，∠APC=120度
(2)PA+PB+PC=AA1
将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度
又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，
又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。
(3)PA+PB+PC最短
在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1<A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。
平面四边形费马点
平面四边形中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较容易研究。
（1）在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。
费马点
（2）在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点D（P）。
经过上述的推导，我们即得出了三角形中费马点的找法：
当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。
[编辑本段]费马点性质：
费马点 （1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。
特殊三角形中：
(2).三内角皆小于120°的三角形，分别以
AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.
(3).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.
(4)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合
第4个回答 2013-09-18
[编辑本段]费马点定义 在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。
(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。 [编辑本段]费马点的判定 （1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点P,若PA+PB+PC有最小值,则P为费马点。 费马点的计算
（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。 [编辑本段]证明 我们要如何证明费马点呢： 费马点证明图形
(1)费马点对边的张角为120度。
△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,
△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B
同理可得∠CBP=∠CA1P
由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度
同理,∠APB=120度，∠APC=120度
(2)PA+PB+PC=AA1
将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度
又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，
又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。
(3)PA+PB+PC最短
在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1<A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。
平面四边形费马点
平面四边形中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较容易研究。
（1）在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。 费马点
（2）在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点D（P）。
经过上述的推导，我们即得出了三角形中费马点的找法：
当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。 [编辑本段]费马点性质： 费马点 （1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。
特殊三角形中：
(2).三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.
(3).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.
(4)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合
(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。 [编辑本段]费马点的判定 （1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点P,若PA+PB+PC有最小值,则P为费马点。 费马点的计算
（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。 [编辑本段]证明 我们要如何证明费马点呢： 费马点证明图形
(1)费马点对边的张角为120度。
△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,
△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B
同理可得∠CBP=∠CA1P
由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度
同理,∠APB=120度，∠APC=120度
(2)PA+PB+PC=AA1
将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度
又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，
又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。
(3)PA+PB+PC最短
在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1<A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。
平面四边形费马点
平面四边形中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较容易研究。
（1）在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。 费马点
（2）在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点D（P）。
经过上述的推导，我们即得出了三角形中费马点的找法：
当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。 [编辑本段]费马点性质： 费马点 （1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。
特殊三角形中：
(2).三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.
(3).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.
(4)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合
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