数学归纳法怎么正确使用?最好有数学归纳法定义和使用误区还有有几个复杂点的例子，每一步最好有详细说明…

Question

如题所述

Answer 1

数学归纳法主要分为第一数学归纳法，第二数学归纳法，倒推归纳法，螺旋式归纳法
（一）第一数学归纳法：
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：
（1）证明当n取第一个值时命题成立；
（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
（二）第二数学归纳法：
对于某个与自然数 有关的命题 ，
（1）验证 n=n0时 P(n)成立；
（2）假设 no<n<k时 P(n)成立，并在此基础上，推出 P(k+1)成立。
综合（1）（2）对一切自然数 n(>n0)，命题P(n)都成立；
（三）倒推归纳法（反向归纳法）：
（1）对于无穷多个自然数命题 P（n）成立；
（2）假设P(k+1)成立，并在此基础上推出P(k)成立，
综合（1）（2），对一切自然数 n(>n0),命题P(n)都成立；
（四）螺旋式归纳法
P（n），Q（n）为两个与自然数 有关的命题，假如
（1）P(n0)成立；
（2）假设 P(k) (k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假设 Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立；
综合（1）（2）,对于一切自然数n（>n0），P(n),Q(n)都成立；
已知最早的使用数学归纳法的证明出现于 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri duo (1575年)。Maurolico 利用递推关系巧妙的证明出证明了前 n 个奇数的总和是 n^2，由此揭开了数学归纳法之谜。
最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成:
递推的基础: 证明当n = 1时表达式成立。
递推的依据: 证明如果当n = m时成立，那么当n = m + 1时同样成立。

Answer 2

先证明k=1时成立，再假设k=n时成立，从而推出k=n+1时成立，则原命题成立