数学归纳法过程怎么写

Question

如题所述

Answer 1

数学归纳法过程写法如下：

一、第一数学归纳法

一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n)，有如下步骤：（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。

二、第二数学归纳法

对于某个与自然数有关的命题P(n)，（1）验证n=n0时P(n)成立；（2）假设n0≤n≤k时P(n)成立，并在此基础上，推出P(k+1)成立。综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。

三、倒推归纳法

（1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n)成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）；（2）假设P(k+1)（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k)成立，综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立；

四、螺旋式归纳法

对两个与自然数有关的命题P(n)，Q(n)，（1）验证n=n0时P(n)成立；（2）假设P(k)（k>n0）成立，能推出Q(k)成立，假设Q(k)成立，能推出P(k+1)成立；综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），P(n)，Q(n)都成立。

五、性质

数学归纳法的原理，通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）。但是在另一些公理的基础上，它可以用一些逻辑方法证明。比如，由下面的公理可以推出数学归纳法原理：自然数集是良序的。注意到有些其它的公理确实是数学归纳法原理的可选的公理化形式。更确切地说，两者是等价的。