循环卷积的定义

如题所述

计算两个长度均为N的序列x1(n)和x2(n)的循环卷积,一个简易的办法是先把x1(n)的数据,设x1(n)=(1,2,3,4),N=4,按反时针方向均匀分布在一个圆周上。如图1中(a)。的内圆所示,而把x2(n),设x2(n)={5,6,7,8},按顺时针的方向均匀分布在另一个同心圆上,然后求两圆上相应序列的乘积,并把V项乘积叠加起来作为n=0时刻的卷积值y(0),即
y(0)=1×5+4×6+3×7+2×8=66
若求n=1时刻的y(l)值,可将外圆的:x2(n)固定,把内圆上的序列x1(n)顺时针旋转一个单位时间(或将x1(n)固定,把外圆上的序列x2(n)逆时针旋转),然后把对应项的乘积叠加起来,即为所求。如(b)图所示,即
y(1)=2×5+1×6+4×7+3×8=68
这样依次将内圆序列进行循环移位一周,便可以求得:y(2)=66,y(3)=60。所以循环卷积又称圆周卷积,卷积结果y(n)长度仍等于N,其定义式如图2。方括号内的运算代表两个周期序列的周期卷积。它与线性卷积不同之处是卷积过程只限在m=0到N-1的一个周期内。乘以RN(n)表示卷积结果只取长度为N的主值序列。
由于离散傅里叶变换(DFT)的实质是周期序列变换到频域的描述。可以证明:两个有限长序列在时域的循环卷积,其DFT等于在频域两个序列相应的DFT的乘积。
式中X1(k)和x2(k)分别是x1(n)和x2(n)的N点DFT。它表明DFT具有循环卷积性质(CCP),也是区别于其他变换的重要特性。正是这种性质,用计算机通过计算DFT达到计算循环卷积和线性卷积的目的,提髙了运算效率。按长度为N的两个序列,其线性卷积的长度应为2N-1,而循环卷积的长度仍然为N。为此,可以通过补零把序列长度增加到L≥2N-1。这样,一方面使循环卷积的长度等于线性卷积,另一方面避免进行循环卷积过程出现混叠造成失真,使计算结果与线性卷积相等,从而实现利用DFT计算线性卷积的目的。循环卷积有快速算法,广泛应用于对通信系统的分析和综合以及对信号的数字处理。

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