如何判断下面这个函数的原函数的连续可导性

Question

这道题怎么做阿，参考答案给的C，我怎么觉得原函数f(x)=x^3(x<=1),f(x)=2x^2-x(x>1)
既连续又可导，该选D呢，求高手指点谢谢

Answer 1

假设一个不连续的可积函数f（x），他的原函数为F（x），若F（x）可导，那么它的导函数必为f（x），由于f（x）不连续，假设它的一个间断点为X0，那么，f（x）在X0点处的左右极限不相等或不存在，也就是说F（x）在X0点处的左右导数不相等或不存在。如此分析，可得出F（x）在X0处是不可导的，这说明F（x）在f（x）的定义域内不是处处可导，所以在该定义域内F（x）作为f（x）的原函数是不可导的。
可以举个例子：分段函数f（x），其定义域为[-1，1]，当X属于（0，1]时，f（x）=x；当x属于[-1，0]时，f（x）=1；可以算出这个分段函数有原函数，但原函数在X=0处不可导。追问

但是这道题中的导函数f(x)在间断点x=1的左右极限相等，都等于3阿，是不是就说明原函数F（x）在这点可导了？

追答

这个是极限啊，就是说如果在该点左右极限都相等，那么说这点就是可去间断点，也就是说这点的值就等于这个极限值，当然这个是极限，并不是说是这点的函数值，因为函数在这点没有意义啊，间断了嘛。