如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q从点O、动点P从点
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤5）．以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连接CD、QC．（1）求当t为何值时，点Q与点D重合？（2）设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．
（1） （2）S的最大值为15 （3）0＜t≤ 或 ＜t≤5 |
| 解：（1）∵A（8，0），B（0，6）， ∴OA=8，OB=6， ∴AB=  = =10，∴cos∠BAO=  = ，sin∠BAO= = ．∵AC为⊙P的直径， ∴△ACD为直角三角形． ∴AD=AC?cos∠BAO=2t× = t．当点Q与点D重合时，OQ+AD=OA， 即：t+ t=8，解得：t= ．∴t= （秒）时，点Q与点D重合．（2）在Rt△ACD中，CD=AC?sin∠BAO=2t× = t．①当0＜t≤ 时，DQ=OA﹣OQ﹣AD=8﹣t﹣ t=8﹣ t．∴S=  DQ?CD= （8﹣ t）? t=﹣ t 2 + t．∵﹣  = ，0＜ ＜ ，∴当t= 时，S有最大值为 ；②当 ＜t≤5时，DQ=OQ+AD﹣OA=t+ t﹣8= t﹣8．∴S= DQ?CD= （ t﹣8）? t= t 2 ﹣ t．∵﹣ = ， ＜ ，所以S随t的增大而增大，∴当t=5时，S有最大值为15＞ ．综上所述，S的最大值为15． （3）当CQ与⊙P相切时，有CQ⊥AB， ∵∠BAO=∠QAC，∠AOB=∠ACQ=90°， ∴△ACQ∽△AOB， ∴  = ，即  =
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