线性代数题目

Question

1、设方阵A满足等式A^k=0（k为某个自然数，此时称A为幂零矩阵）。试证明： 〖(E-A)〗^(-1)=E+A+A^2+…+A^(k-1)
2、设方阵A满足等式A^2+A-7E=0。试证明方阵A、A+3E、A-2E均可逆。
3、设a为n维实向量，且a^Ta=1，证明：A=E-2aa^T为正交矩阵。
请哪位朋友帮下忙，解决一下，不甚感激。

Answer 1

1、只要证明(E-A)•(E+A+A^2+…+A^(k-1) )= E
即可说明〖(E-A)〗^(-1)=E+A+A^2+…+A^(k-1)
而对(E-A)•(E+A+A^2+…+A^(k-1) )用分配律，再用条件即得E
2、只要证明A、A+3E、A-2E的行列式都不等于0即可
由A^2+A-7E=0得A^2+A=7E，即A(A+ E )=7E，两边取行列式，
右边的行列式值为7不等于0，左边的行列式为A的行列式与A+ E的行列式的乘积，所以知道A的行列式不等于0，故A可逆
同理，由A^2+A-7E=0得A^2+A-6E= E，即(A+3E)(A-2E)=E，两边取行列式，
右边的行列式值为1不等于0，左边的行列式为A+3E的行列式与A-2E的行列式的乘积，
所以知道A+3E的行列式与A-2E的行列式都不等于0，故二者都可逆
3、根据正交矩阵的定义，只要证明A^T •A= E即可
而A^T •A=(E-2aa^T ) ^T•(E-2aa^T )
根据转置的算律，(E-2aa^T ) ^T =(E-2aa^T )
从而A^T•A= (E-2aa^T )•(E-2aa^T )=E-4aa^T+4(aa^T )(aa^T )
注意用结合律，(aa^T )(aa^T )=a(a^Ta)a^T=aa^T (条件a^Ta=1)
从而A^T•A= E-4aa^T+4(aa^T )= E 证毕