关于高等数学重积分换为n次积分后的运算顺序的问题

Question

可以看到他直接将f（x）换到了dz前面，这样合法吗？如果合法，那么是否意味着都可以把被积函数随意搬，哪个好算先算哪个？

Answer 1

合法。二次积分的积分次序是从右往左，右边的积分先进行计算，结果是左边积分的被积函数。右边的积分是积分变量为x,y的二重积分，与x,y无关的函数f(z)对于这个二重积分就相当于常量，自然可以提取出去（这是二重积分的线性性质），先放到左边积分的被积函数位置上（左边这个积分现在还不能计算），等到右边积分计算完后，乘上f(z)，作为左边积分的被积函数，进行积分。追问

非常感谢，那如果被积函数里含有x或者y是不是就不能往前提？

Answer 2

这样是合法的，你首先要明白，先算的那个积分谁是真正的被积函数，在后面的那个二重积分中，关于x,y的函数是被积函数，但是f(z)是关于z的函数，跟x,y无关。而最后要算是关于z的积分，所以可以把f(z)提到前面。实际上，在后面的那个二重积分中，f(z)就相当于常数，注意是在关于x,y的那个二重积分中才相当于常数。

Answer 3

不是搬的 f(x), 而是搬的 f(z), 对x，y 积分， f(z) 相当于常量， 可以提到积分号外。
如果不是 f(z)， 而是 f(x)， f(y)， f(x, y), f(x, y, z) 都不可以移到对x，y 积分号外。追问

我能否理解为f（z）中不包括xy，所以可以往前提？

追答

是这样的， f（z）中不包括 x，y，可以提到对 x，y 积分的外面

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Answer 4

①当f(x,y)在有界闭区域内连续，那么二重积分和二次积分相等。对开区域或无界区域这关系不衡成立。

Answer 5

①当f(x,y)在有界闭区域内连续，那么二重积分和二次积分相等。对开区域或无界区域这关系不衡成立。追问

您好，我的问题是他直接将被积函数挪位置，是否可以这样运算，谢谢