问一道不等式的解法是否正确

Question

设a,b,c,X,Y,Z属于实数。证明：ax+by+cz+[(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)]^(1/2)>=(2/3)(a+b+c)(x+y+z)
这样证：由柯西不等式：
[(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)]^(1/2)>=|ax|+|by|+|cz|>=ax+by+cz
所以只要证明：
2(ax+by+cz)>=(2/3)(a+b+c)(x+y+z)
也即：ax+by+cz>=(a+b+c)(x+y+z)/3
由对称性不妨设
x<=y<=z,a<=b<=c
则ax+by+cz是顺序和，由切比雪夫不等式知
上式显然成立。

如果不知道切比雪夫不等式可以这样证：
由排序不等式，ax+by+cz是顺序和，所以
ax+by+cz>=ax+by+cz(这个显然对吧)
ax+by+cz>=ay+bz+cx
ax+by+cz>=az+by+cx
上三式相加即得3(ax+by+cz)>=(a+b+c)(x+y+z)
对吗？？？？？？？？？
我之前在知道上问过，有人这样答的开始觉得挺对采纳了，但后来一看感觉不对劲

Answer 1

不正确的，ax+by+cz这个式子是轮换对称，不是完全对称，不能假设大小。事实上这题还有比这个做法更简单的做法：

证明：

把不等式变形为： 

3√[(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)]>=(2b+2c-a)x+(2c+2a-b)y+(2a+b-c)z 

右边用柯西不等式： 

(2b+2c-a)x+(2c+2a-b)y+(2a-2b-c)z<=√(x^2+y^2+z^2)·√[(2b+2c-a)^2+(2c+2a-b)^2+(2a+2b-c)^2]=3√[(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)] 

得证。。 

另外，这道题还有一种比较优秀的向量解法，见图片(点击放大)