常用的等价无穷小的替换公式如下：
当x趋近于0时：
e^x-1~x；
ln(x+1)~x；
sinx~x；
arcsinx~x；
tanx~x；
arctanx~x；
1-cosx~(x^2)/2；
tanx-sinx~(x^3)/2；
(1+bx)^a-1~abx。
扩展资料：
高数极限等价无穷小替换公式背景：
历史上是柯西(Cauchy，A.-L.)首先较为明确地给出了极限的一般定义。他说，“当为同一个变量所有的一系列值无限趋近于某个定值，并且最终与它的差要多小就有多小”(《分析教程》，1821)，这个定值就称为这个变量的极限。
其后，外尔斯特拉斯(Weierstrass，K.(T.W.))按照这个思想给出严格定量的极限定义，这就是数学分析中使用的ε-δ定义或ε-Ν定义等。从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则。在分析学的其他学科中，极限的概念也有同样的重要性，在泛函分析和点集拓扑等学科中还有一些推广。
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第1个回答 2023-07-16
在数学中，为了求解极限问题，有几个常用的替换方法，它们可以简化计算或者帮助我们找到极限的解。以下是几个常用的替换方法：
1. 无穷小替换：
- 无穷小替换通常用于求解极限中的分式形式。当极限中的分子和分母都趋于零时，我们可以通过将它们替换为等价的无穷小项来简化计算。常见的无穷小替换包括：
- 当 x 趋于零时，可以替换 x 为 sin(x)、tan(x)、ln(1+x) 等。
- 当 x 趋于无穷大时，可以替换 x 为 e^x、ln(x)、x^a（其中 a 是常数）等。
2. 有界函数替换：
- 有界函数替换通常用于求解极限中的复杂函数形式。当一个函数在某个点处的极限存在且有界时，我们可以将该函数替换为与之等价但更简单的函数。例如：
- 当 x 趋近某个点时，可以将函数 f(x) 替换为 g(x)，其中 g(x) 在该点处极限存在且有界。
- 常见的有界函数替换包括将 x^2 替换为常数、将根号函数替换为指数函数等。
3. 三角函数替换：
- 三角函数替换通常用于求解极限中的三角函数形式。例如，当存在形如 sin(x)/x 或 tan(x)/x 的极限时，我们可以使用以下替换：
- 对于 sin(x)/x 形式的极限，可以使用 x -> sin(x) 的替换。
- 对于 tan(x)/x 形式的极限，可以使用 x -> arcsin(x) 的替换。
需要注意的是，在应用这些替换方法时，要谨慎验证所得结果是否与原始极限等价。也要记住，替换方法只适用于特定情况下，且并非所有极限问题都可以通过替换方法求解，一些情况可能需要采用其他的技巧和定理。
1. 无穷小替换：
- 无穷小替换通常用于求解极限中的分式形式。当极限中的分子和分母都趋于零时，我们可以通过将它们替换为等价的无穷小项来简化计算。常见的无穷小替换包括：
- 当 x 趋于零时，可以替换 x 为 sin(x)、tan(x)、ln(1+x) 等。
- 当 x 趋于无穷大时，可以替换 x 为 e^x、ln(x)、x^a（其中 a 是常数）等。
2. 有界函数替换：
- 有界函数替换通常用于求解极限中的复杂函数形式。当一个函数在某个点处的极限存在且有界时，我们可以将该函数替换为与之等价但更简单的函数。例如：
- 当 x 趋近某个点时，可以将函数 f(x) 替换为 g(x)，其中 g(x) 在该点处极限存在且有界。
- 常见的有界函数替换包括将 x^2 替换为常数、将根号函数替换为指数函数等。
3. 三角函数替换：
- 三角函数替换通常用于求解极限中的三角函数形式。例如，当存在形如 sin(x)/x 或 tan(x)/x 的极限时，我们可以使用以下替换：
- 对于 sin(x)/x 形式的极限，可以使用 x -> sin(x) 的替换。
- 对于 tan(x)/x 形式的极限，可以使用 x -> arcsin(x) 的替换。
需要注意的是，在应用这些替换方法时，要谨慎验证所得结果是否与原始极限等价。也要记住，替换方法只适用于特定情况下，且并非所有极限问题都可以通过替换方法求解，一些情况可能需要采用其他的技巧和定理。
第2个回答 2023-07-21
在数学中，有几个常用的极限替换技巧，可以简化计算或将复杂的极限问题转化为更容易处理的形式。以下是一些常见的极限替换：
1. 0/0 形式的极限：
当遇到 0/0 形式的极限时，可以尝试使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule）来解决。洛必达法则适用于形式为 f(x)/g(x) 的极限，其中 f(x) 和 g(x) 在该极限点附近连续且极限都为 0 或 ±∞。该法则可以将原极限转化为 f'(x)/g'(x) 的极限，其中 f'(x) 和 g'(x) 是 f(x) 和 g(x) 的导数，进而求得原极限。
2. 无穷大/无穷大 形式的极限：
当极限为无穷大/无穷大 形式时，可以尝试使用洛必达法则。同样，要注意适用条件，即分子和分母在该极限点附近连续且极限都为 ±∞。
3. 无穷大 - 无穷大 形式的极限：
对于无穷大 - 无穷大 形式的极限，可以尝试化简式子，将其转化为 0/0 形式或无穷大/无穷大 形式，然后再使用洛必达法则。
4. 无穷小 * 无穷大 形式的极限：
当极限为无穷小 * 无穷大 形式时，可以尝试化简式子，将其转化为 0/0 形式或无穷大/无穷大 形式，然后再使用洛必达法则。
5. 替换技巧：
在一些特定情况下，可以进行一些替换技巧，如使用等价无穷小替换、有理化技巧等。这些替换技巧可以简化复杂的极限问题。
需要注意的是，使用洛必达法则时，要确保极限存在，且满足洛必达法则的适用条件。在处理极限时，要注意细致入微的计算，避免出现错误。对于复杂的极限问题，有时候需要借助更高级的数学工具和方法进行求解。
1. 0/0 形式的极限：
当遇到 0/0 形式的极限时，可以尝试使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule）来解决。洛必达法则适用于形式为 f(x)/g(x) 的极限，其中 f(x) 和 g(x) 在该极限点附近连续且极限都为 0 或 ±∞。该法则可以将原极限转化为 f'(x)/g'(x) 的极限，其中 f'(x) 和 g'(x) 是 f(x) 和 g(x) 的导数，进而求得原极限。
2. 无穷大/无穷大 形式的极限：
当极限为无穷大/无穷大 形式时，可以尝试使用洛必达法则。同样，要注意适用条件，即分子和分母在该极限点附近连续且极限都为 ±∞。
3. 无穷大 - 无穷大 形式的极限：
对于无穷大 - 无穷大 形式的极限，可以尝试化简式子，将其转化为 0/0 形式或无穷大/无穷大 形式，然后再使用洛必达法则。
4. 无穷小 * 无穷大 形式的极限：
当极限为无穷小 * 无穷大 形式时，可以尝试化简式子，将其转化为 0/0 形式或无穷大/无穷大 形式，然后再使用洛必达法则。
5. 替换技巧：
在一些特定情况下，可以进行一些替换技巧，如使用等价无穷小替换、有理化技巧等。这些替换技巧可以简化复杂的极限问题。
需要注意的是，使用洛必达法则时，要确保极限存在，且满足洛必达法则的适用条件。在处理极限时，要注意细致入微的计算，避免出现错误。对于复杂的极限问题，有时候需要借助更高级的数学工具和方法进行求解。
第3个回答 2023-07-21
在数学中，有几个常用的极限替换，它们可以帮助我们简化复杂的极限计算。以下是其中几个常见的替换：
1. 无穷小替换：当极限中存在无穷小的形式时，我们可以将其替换为对应的无穷小代数表达式。例如，当$x$趋向于0时，可以将$\sin(x)$替换为$x$，将$\tan(x)$替换为$x$，将$e^x - 1$替换为$x$，将$\ln(1+x)$替换为$x$等。
2. 无穷大替换：当极限中存在无穷大的形式时，我们可以将其替换为对应的无穷大代数表达式。例如，当$x$趋向于无穷大时，可以将$\frac{1}{x}$替换为0，将$\frac{1}{x^n}$（其中$n$为正整数）替换为0，将$\sqrt{x^2 + a^2} - x$替换为$\frac{a^2}{x}$等。
3. 代换替换：有时候，通过进行代换可以将复杂的极限转化为更简单的形式。例如，当$x$趋向于某个特定的值$a$时，可以通过将$x$替换为$t-a$，将极限转化为$t$趋向于0的极限。
这些替换方法在计算极限时非常有用，但需要注意的是，替换后得到的极限结果可能只是近似值，而不是精确值。因此，在使用这些替换时，需要注意其适用范围，并结合其他极限计算方法进行验证。
1. 无穷小替换：当极限中存在无穷小的形式时，我们可以将其替换为对应的无穷小代数表达式。例如，当$x$趋向于0时，可以将$\sin(x)$替换为$x$，将$\tan(x)$替换为$x$，将$e^x - 1$替换为$x$，将$\ln(1+x)$替换为$x$等。
2. 无穷大替换：当极限中存在无穷大的形式时，我们可以将其替换为对应的无穷大代数表达式。例如，当$x$趋向于无穷大时，可以将$\frac{1}{x}$替换为0，将$\frac{1}{x^n}$（其中$n$为正整数）替换为0，将$\sqrt{x^2 + a^2} - x$替换为$\frac{a^2}{x}$等。
3. 代换替换：有时候，通过进行代换可以将复杂的极限转化为更简单的形式。例如，当$x$趋向于某个特定的值$a$时，可以通过将$x$替换为$t-a$，将极限转化为$t$趋向于0的极限。
这些替换方法在计算极限时非常有用，但需要注意的是，替换后得到的极限结果可能只是近似值，而不是精确值。因此，在使用这些替换时，需要注意其适用范围，并结合其他极限计算方法进行验证。
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