高数，圈出来的这一部分哪来的，是怎么代入原式？

Question

如题所述

Answer 1

答:以下仅就画圈部分解答。

由于此为二阶常系数线性非齐次微分方程，其通解为对应的齐次微分方程的通解+一个费齐次微分方程的特解。而要求这个特解，首先分析该非齐次微分方程的类型:

方程右侧3xe^(2x)是属于f(x)=Pn(x)e^(λx)

其特解即为(x^k)Qn(x)e^(λx)

这里Qn(x)和Pn(x)为同次数多项式，本题为一次多项式Qn(x)=ax+b，因为Pn(x)=3x

特解的第一个因子x^k，则根据e^(λx)这里是e^(2x)即λ=2是否是特征根，是否是重根决定。本题λ=2是特征方程的重根，所以k=2。综合后特解y*=[(ax^3)+(bx^2)]e^(2x)

(y*)'=[(3ax^2)+(2bx)]e^(2x)+2[(ax^3)+(bx^2)]e^(2x)

(y*)''=(6ax+2b)e^(2x)+2[(3ax^2)+(2bx)]e^(2x)+2[(3ax^2)+2bx]e^(2x)+4[(ax^3)+(bx^2)]e^(2x)

由(y*)''-4(y*)'+4y*=3xe^(2x)

所以，6ax+2b=3x

Answer 2

y''-4y'+4y=3xe^(2x)

The aux. equation
p^2-4p+4=0
p=2
let
yg= (Ax+B)e^(2x)
yp=(Cx^3+Dx^2).e^(2x)
yp'
=(2Cx^3 + 2Dx^2 + 3Cx^2 +2Dx) e^(2x)
=[2Cx^3 + (3C+2D)x^2 +2Dx] e^(2x)
yp''
={ 2[2Cx^3 + (3C+2D)x^2 +2Dx] + 6Cx^2 +(6C+4D)x +2D } e^(2x)
=[ 4Cx^3 + (12C+4D)x^2 +(6C+8D)x + 2D] .e^(2x)
yp''-4yp'+4yp=3xe^(2x)
[4Cx^3+(12C+4D)x^2+(6C+8D)x+ 2D] -4[2Cx^3 + (3C+2D)x^2 +2Dx]+4(Cx^3+Dx^2)
=3x
6Cx +2D =3x
D=0 and C=1/2
yp=(1/2)x^3.e^(2x)
通解
y=yg+yp=(Ax+B)e^(2x) +(1/2)x^3.e^(2x)