高一数学解析几何圆x^2+y^2=1内有定点A(a,0)，圆上有两点P,Q，且∠PAQ=90度，求过P和Q的两条切线的交点M的

Question

圆x^2+y^2=1内有定点A(a,0)，圆上有两点P,Q，且∠PAQ=90度，求过P和Q的两条切线的交点M的轨迹
谢谢
偶很精神滴童鞋，B是什么？ zqs626290童鞋，你的答案我没有看懂。

Answer 1

解：可设点P(cosp,sinp),Q(cosq,sinq),M(x,y).易知，单位圆的过点P,Q的切线方程分别为，xcosp+ysinp=1,xcosq+ysinq=1.解该关于x,y的二元一次方程组得，x=(sinq-sinp)/sin(q-p)=cos[(q+p)/2]/cos[(q-p)/2],y=(cosp-cosq)/sin(q-p)=sin[(p+q)/2]/cos[(q-p)/2].易知，此时的x,y即点M的坐标。显然，{cos[(p-q)/2]}^2=1/(x^2+y^2).且cosp+cosq=2cos[(p+q)/2]cos[(p-q)/2]=2x*{cos[(p-q)/2]}^2.再由由∠PAQ=90°，===>[sinp/(cosp-a)]*[sinq/(cosq-a)]=-1.===>sinpsinq+cospcosq-a(cosp+cosq)+a^2=0.===>cos(p-q)+a^2=a(cosp+cosq).===>将前面结果代入，消去参数p,q.得点M的轨迹方程：{x+[a/(1-a^2)]}^2+y^2=(2-a^2)/[(1-a^2)^2].可知，点M的轨迹是圆，圆心是（a/(a^2-1),0).[注：横坐标是a/[(a^2)-1],纵坐标为0].半径为（2-a^2)/[(1-a^2)^2]

Answer 2

设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.

又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=1－(x2+y2)

又|AR|2=|PR|2=(x-a)2+y2
所以有即(x-a/2)2+y2=5/4a2-1

因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，M点即在所求的轨迹上运动.

设Q(x,y)，M(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=(x+a)/2 , y1=y/2
代入方程解得
没有纸，算起来容易出错，就大概给个思路吧，主要是利用几何本回答被提问者采纳

Answer 3

是我见过最难的轨迹题，我只会死做，轨迹是一个圆心在（a/a^2-1,0)的圆
不过很难求，不知道有没有其他的方法，等待高手。
另：这种题如果是兴趣可以弄一弄，如果是为高考，还是放弃吧，根本不会考这么难的轨迹题。

Answer 4

Answer 5

既然大家觉得难，我有兴趣晚上做一做。到时贴在这里交流