几道简单的高数题

Question

（1）定积分∫【1/（5x+1)√In(5x+1)】dx
(2)不定积分(a,0)∫(√a^2-x^2)dx
(3)不定积分(π，0）∫(x)sin^2(x)dx
高分求助，我急需。。。。

Answer 1

1. 原式=∫{1/√[ln(5x+1)}*[1/(5x+1)]*(1/5)*d(5x+1)
=∫{1/√]ln(5x+1)]}*(1/5)*d[ln(5x+1)]
=(1/5)*∫[ln(5x+1)]^(-1/2)*d[ln(5x+1)]
=(1/5)*[ln(5x+1)^(1/2)]/(1/2) + C
=2√[ln(5x+1)]/5 + C

2.设x=a*sint,则原积分的下限变为0，上限变为π/2
原式=∫(0,π/2) √(a^-（a*sint）^)*d(a*sint)
=∫(0,π/2) a√(1-sin^t)*a*d(sint)
=∫(0，π/2) a^cos^t dt
=∫(0,π/2) a^[(1+cos2t)/2] *dt
=∫(0,π/2) (a^/2 )*dt + ∫(0,π/2) (a^/2)*cos2t*dt
=(a^/2)*(π/2-0) + (a^/2)*[(sin2t)/2] (t下限为0，上限为π/2)
=a^π/4)

3.这个题为了表达清楚，我干脆先求不定积分，最后把上下限一带就可以！
原式=∫x*[(1-cos2x)/2]*dx
=∫xdx/2 - (1/2)*∫xcos2xdx
=x^/4 - (1/2)*∫(x/2)*d(sin2x)
=x^/4 - (1/4)*∫xd（sin2x）
=x^/4 - (1/4)*xsin2x + (1/4)*∫sin2xdx
=x^/4 - xsin2x/4 - cos2x/8
代入上下限0，π的值，可得到：
原式=π^/4 - 1/8 - (-1/8)
=π^/4

Answer 2

你都说简单了
那就自己做吧

Answer 3

你连定积分不定积分都没分清呢？ 无语中。。。。
第一个 凑微分
第二个 换元 x=asint 注意换元之后积分上下限一样要变
第三个 用降幂 之后用线性关系展开 直接来的直接来 带三角的分部积分

Answer 4

(1)不定积分∫【1/（5x+1)√In(5x+1)】dx
=0.2∫【√In(5x+1)】d【In(5x+1)】
=0.2∫√tdt，(令t=In(5x+1))
以下用公式积出后再把t=In(5x+1))换回去即可。

(2)定积分(a,0)∫(√a^2-x^2)dx
=∫-adx-∫x^2dx (因为a<0，所以√a^2=-a)
=-ax-(1/3)x^3，(将其中x代值a与代值0，相减)
=-a^2-(1/3)a^3。

(3)定积分(π，0）∫(x)sin^2(x)dx
先求不定积分∫xsin^2xdx
=∫(x)*(1-cos4x)/2dx
=0.5∫(x-xcos4x)dx
=0.5∫xdx-0.5∫xcos4xdx
=0.5*0.5x^2-0.5*(1/4)∫xdsin4x (对第2个积分用分部积分法）
=0.5*0.5x^2-0.5*(1/4)[x*sin4x-∫sin4xdx]
=0.5*0.5x^2-0.5*(1/4)[x*sin4x-(1/4)cos4x]，
以上是求得的原函数，
再将其中x代值π与代值0，相减，
得0.5*0.5π^2，即(1/4)π^2为所求。