数列{Xn}单调,而且存在收敛子列，则数列{Xn}收敛。怎么证明？

Question

如题所述

Answer 1

设数列{x(n)}存在收敛子列{x(n(k))}，收敛到 A ；
数列{x(n)}单调，不妨考虑单调递增；
任取e>0，存在K，当 k>K 时，有 |x(n(k))-A|<e ；
令 N=n(K+1) ，当 m>N 时，对于这个m，存在k1,k2，满足
k2>k1>K，且 n(k1)<=m<=n(k2) ；
数列递增，有 x(n(k1))<=x(m)<=x(n(k2)) ；
而k1,k2>K，所以 A-e<x(n(k1))<A+e ，A-e<x(n(k2))<A+e ；
这样就有 A-e<x(n(k1))<=x(m)<=x(n(k2))<A+e ，即
当 m>N 时，|x(m)-A|<e ，那么数列x{n}也收敛，且也收敛到 A 。