若数列{xn}收敛于a，证明数列{|xn|}收敛于|a|,并举例说明数列{|xn|}收敛，数列{xn}不一定收敛。

Question

如题所述

Answer 1

因为{xn}收敛于a，
所以
任给ε>0,存在正整数N,当n>N时,
|xn-a|<ε
而
||xn|-|a||<=|xn-a|<ε
所以
对同样的N,当n>N时,有||xn|-|a||<ε
恒成立,由极限定义有:数列{|xn|}收敛于|a|.
举例说明数列{|xn|}收敛，数列{xn}不一定收敛。
如:
xn:1,-1,1,-1,1,......
显然xn为摆动数列,不收敛,而
|xn|:1,1,1,1,........
收敛极限为1.