不可测集上的连续函数可测吗

Question

如题所述

Answer 1

可测。单调函数,设为f.不妨设f单调递增,递减完全类似.对于任意实数t,假如t在f的值域内,则必然存在唯一的x0,使得f(x0)=t,所以E(f>t)=区间(x0,+∞)∩E,当然是两个可测集角还是可测集,所以f可测.要是t不属于f值域,那就取f值域里面最接近t但是比t大的那个数t0,f(x0)=t0,所以E(f>t)=区间(x0,+∞)∩E,还是可测集.如果t大于值域中任何数,E(f>t)=?,当然也是可测的.综上单调函数f可测。