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第1个回答 2020-10-24
高中数学经典的解题技巧和方法（不等式）
【编者按】不等式是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试解答题的必选，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下集合跟常用逻辑用语的经典解题技巧。
首先，解答不等式这方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：
1．不等关系
了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。
2．一元二次不等式
（1）会从实际情境中了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。
（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。
3．二元一次不等式组与简单线性规划问题
（1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。
（2）了解二地一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。
（3）会从实际情境中抽出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。
4．基本不等式：
（1）了解基本不等式的证明过程。[来源:学科网]
（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
好了，搞清楚不等式的基本内容之后，下面我们就看下针对这方面内容的具体的解题技巧。
一、不等式的求解问题
考情聚焦：1.求不等式解集及构建不等求参数取值范围问题是高考中对不等式考查的一个重要考向,每年高考均有重要体现。
2.常考查一元二次不等及可转化为一元二次不等式的简单分式不等式、指数、对数不等式的解法。以选择、填空为主，属中档题。
解题技巧：1.求解一元二次方程不等式的基本思路：先化为一般形式，再求相应一元二次方程的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集。
2.解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式（一般为一元二次不等式）求解。
3.解含参数不等的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因。确定分类标准、层次清楚地求解。
例1：（2010·全国卷Ⅰ文科·T13）)不等式的解集是 .
【命题立意】本小题主要考查不等式及其解法
【思路点拨】首先将因式分解，然后将化为三个因式乘积的形式，
采用“序轴标根法”即穿根法求解集.
【规范解答】，
数轴标根得：
【答案】
二、不等式恒成立问题
考情聚集：1.不等式恒成立以及可转化为不等式恒成立的问题是近几年高考的热点，在各省市高考中占较大比重且点重要的位置。
2.常与函数的图象、性质、方程及重要的思想方法交汇命题，多以解答题的形式出现，属中档偏上题目。
解题技巧：求解不等式恒成立问题的常用思想方法：
1.分离参数法：通过分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题求解。
2.函数思想：转化为求含参数的最值问题求解。
3.数形结合思想：转化为两熟悉函数图象间的上、下关系求解。
例2：已知二次函数f(x)满足f(-1)=0,且8x≤f(x)≤4(x2+1)对于x∈R恒成立.
(1)求f(1);
(2)求f(x)的表达式；
(3)设,定义域为D，现给出一个数学运算程序：
若xn∈D,则运算继续下去；若xnD,则运算停止.给出, 请你写出满足上述条件的
集合D={x1,x2,x3,…,xn}.．（满分13分）
解析：(1)由8x≤f (x)≤4(x2+1),令x=1得8≤f (1)≤8,
∴f (1)=8.
(2)设f (x)=ax2+bx+c(a≠0),由(1)及f (-1)=0得b=4,a+c=4.
又ax2+bx+c≥8x,即ax2-4x+c≥0,对x∈R恒成立,
∴,即(a-2)2≤0,∴a=2,c=2.故f (x)=2(x+1)2.
(3)由g(x)=
由题意x1=,x2=g(x1)=,x3=g(x2)=-,x4=g(x3)=-1,x5无意义，故D={,,-,-1}
三、线性规划问题
考情聚焦:1.线性规划是中学教材中仅有的几个具有实际应用操作的考点之一,又具有全面考查直线知识与数形结合思想的强大功能,是各省市高考的重点.
2.常与函数、直线、实际问题等交汇命题，多以选择、填空题形式出现。
解题技巧：1.线性规划问题一般有三种题型:一是求最值;二是求区域面积;三是最优解情况或可行域情况确定参数的值或取值范围.
2.解决线性规划问题首先要找到可行域,再注意目标函数所表示的几何意义,数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点),但要注意作图一定要准确,整点问题要验证解决.
例3: （2010·安徽高考文科·T8）设x,y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值是（ ）
（A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8
【命题立意】本题主要考查线性规划问题，考查考生的作图、运算求解能力。
【思路点拨】由约束条件画可行域确定目标函数的最大值点计算目标函数的最大值
【规范解答】选C．约束条件表示的可行域是一个三角形区域，3个顶点分别是，目标函数在取最大值6，故C正确．
【方法技巧】解决线性规划问题，首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域），则区域中的某个端点使目标函数取得最大或最小值．
四、利用基本不等式求最值问题
考情聚焦:1.利用基本不等式求函数最值是确定函数最值的重要方法,为近几年各省市高考的热点.
2.常与函数、解析几何、立体几何和实际问题交汇命题，多以中档题形式出现.
例4: （2009江苏高考）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为.
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为
(1)求和关于、的表达式；当时，求证：=；
(2)设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
(3)记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。
【解析】(1)
当时，,
, =
（2）当时，
由，故当即时，
甲乙两人同时取到最大的综合满意度为。
（3）由（2）知：=
由得：，
令则，即：。
同理，由得：
另一方面，
当且仅当，即=时，取等号。由（1）知=时h甲=h乙
所以不能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立。
【编者按】不等式是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试解答题的必选，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下集合跟常用逻辑用语的经典解题技巧。
首先，解答不等式这方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：
1．不等关系
了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。
2．一元二次不等式
（1）会从实际情境中了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。
（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。
3．二元一次不等式组与简单线性规划问题
（1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。
（2）了解二地一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。
（3）会从实际情境中抽出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。
4．基本不等式：
（1）了解基本不等式的证明过程。[来源:学科网]
（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
好了，搞清楚不等式的基本内容之后，下面我们就看下针对这方面内容的具体的解题技巧。
一、不等式的求解问题
考情聚焦：1.求不等式解集及构建不等求参数取值范围问题是高考中对不等式考查的一个重要考向,每年高考均有重要体现。
2.常考查一元二次不等及可转化为一元二次不等式的简单分式不等式、指数、对数不等式的解法。以选择、填空为主，属中档题。
解题技巧：1.求解一元二次方程不等式的基本思路：先化为一般形式，再求相应一元二次方程的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集。
2.解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式（一般为一元二次不等式）求解。
3.解含参数不等的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因。确定分类标准、层次清楚地求解。
例1：（2010·全国卷Ⅰ文科·T13）)不等式的解集是 .
【命题立意】本小题主要考查不等式及其解法
【思路点拨】首先将因式分解，然后将化为三个因式乘积的形式，
采用“序轴标根法”即穿根法求解集.
【规范解答】，
数轴标根得：
【答案】
二、不等式恒成立问题
考情聚集：1.不等式恒成立以及可转化为不等式恒成立的问题是近几年高考的热点，在各省市高考中占较大比重且点重要的位置。
2.常与函数的图象、性质、方程及重要的思想方法交汇命题，多以解答题的形式出现，属中档偏上题目。
解题技巧：求解不等式恒成立问题的常用思想方法：
1.分离参数法：通过分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题求解。
2.函数思想：转化为求含参数的最值问题求解。
3.数形结合思想：转化为两熟悉函数图象间的上、下关系求解。
例2：已知二次函数f(x)满足f(-1)=0,且8x≤f(x)≤4(x2+1)对于x∈R恒成立.
(1)求f(1);
(2)求f(x)的表达式；
(3)设,定义域为D，现给出一个数学运算程序：
若xn∈D,则运算继续下去；若xnD,则运算停止.给出, 请你写出满足上述条件的
集合D={x1,x2,x3,…,xn}.．（满分13分）
解析：(1)由8x≤f (x)≤4(x2+1),令x=1得8≤f (1)≤8,
∴f (1)=8.
(2)设f (x)=ax2+bx+c(a≠0),由(1)及f (-1)=0得b=4,a+c=4.
又ax2+bx+c≥8x,即ax2-4x+c≥0,对x∈R恒成立,
∴,即(a-2)2≤0,∴a=2,c=2.故f (x)=2(x+1)2.
(3)由g(x)=
由题意x1=,x2=g(x1)=,x3=g(x2)=-,x4=g(x3)=-1,x5无意义，故D={,,-,-1}
三、线性规划问题
考情聚焦:1.线性规划是中学教材中仅有的几个具有实际应用操作的考点之一,又具有全面考查直线知识与数形结合思想的强大功能,是各省市高考的重点.
2.常与函数、直线、实际问题等交汇命题，多以选择、填空题形式出现。
解题技巧：1.线性规划问题一般有三种题型:一是求最值;二是求区域面积;三是最优解情况或可行域情况确定参数的值或取值范围.
2.解决线性规划问题首先要找到可行域,再注意目标函数所表示的几何意义,数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点),但要注意作图一定要准确,整点问题要验证解决.
例3: （2010·安徽高考文科·T8）设x,y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值是（ ）
（A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8
【命题立意】本题主要考查线性规划问题，考查考生的作图、运算求解能力。
【思路点拨】由约束条件画可行域确定目标函数的最大值点计算目标函数的最大值
【规范解答】选C．约束条件表示的可行域是一个三角形区域，3个顶点分别是，目标函数在取最大值6，故C正确．
【方法技巧】解决线性规划问题，首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域），则区域中的某个端点使目标函数取得最大或最小值．
四、利用基本不等式求最值问题
考情聚焦:1.利用基本不等式求函数最值是确定函数最值的重要方法,为近几年各省市高考的热点.
2.常与函数、解析几何、立体几何和实际问题交汇命题，多以中档题形式出现.
例4: （2009江苏高考）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为.
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为
(1)求和关于、的表达式；当时，求证：=；
(2)设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
(3)记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。
【解析】(1)
当时，,
, =
（2）当时，
由，故当即时，
甲乙两人同时取到最大的综合满意度为。
（3）由（2）知：=
由得：，
令则，即：。
同理，由得：
另一方面，
当且仅当，即=时，取等号。由（1）知=时h甲=h乙
所以不能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立。
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