定积分的应用求面积时,x型中的x取值范围怎么判断？

Question

如题所述

Answer 1

在求定积分应用求面积时，要把被积函数恒等于正值(或0)，即：
$$f(x) \geq 0, x \in [a,b] $$
这是为了确保我们处理的是一个实际存在的区域，即曲线与 $x$ 轴所包围的区域。
通常情况下，在相应的平面直角坐标系下，通过将积分区域准确地绘制出来并确定其在坐标系中的位置，我们就能直观地分析 $x$（或 $y$）的取值范围了。具体步骤如下：
1. 确定被积函数（即曲线）在坐标系中的位置和形状。
2. 确定积分区间 $[a,b]$，也就是$x$的取值范围。
3. 在坐标系中画出积分区间所对应的直线段（通常为 $x=a$ 和 $x=b$ 所对应的竖直线段）。
4. 分析被积函数与坐标轴所围成的区域与所绘制的直线段的位置关系，得到 $x$ 的取值范围。
当被积函数处于 $x$ 轴以下时， $x$ 的取值范围将从该函数上截距为 $0$ 的点开始，到该函数下截距为 $0$ 的点结束，即函数与 $x$ 轴的交点。
当被积函数处于 $x$ 轴以上时， $x$ 的取值范围将从该函数下截距为 $0$ 的点开始，到该函数上截距为 $0$ 的点结束。