求解答这道高数题，相关极限和定积分的知识，求大神解答,希望过程详细点，越详细越好

Question

求解答这道高数题，相关极限和定积分的知识，求大神解答,希望过程详细点，越详细越好

Answer 1

考虑到立方差公式，对分母有理化，因为(1+x³)=[(1+x³)^1/3]³
所以，(1+x³)-1=[(1+x³)^1/3-1]·[(1+x³)^2/3+(1+x³)^1/3+1]
则原式=lim<x→0>[∫<0,sin²x>ln(1+t)dt]·[(1+x³)^2/3+(1+x³)^1/3+1]/[(1+x³)-1]sinx
=lim<x→0>[3∫<0,sin²x>ln(1+t)dt]/(x³·sinx)
=3lim<x→0>[∫<0,sin²x>ln(1+t)dt]/x^4
=3lim<x→0>[ln(1+sin²x)·2sinxcosx]/(4x³)——罗必塔法则
=3lim<x→0>ln(1+sin²x)/(2x²)
=3lim<x→0>sin²x/(2x²)
=3×(1/2)
=3/2

Answer 2

如图所示

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