单摆的小角度近似周期

Question

如题所述

Answer 1

我们知道（1）式是一个非线性微分方程。所以严格地说上面的（1）式描述的单摆的运动并不是简谐运动。
不过，在θ比较小时，近似地有sin θ ≈ θ。（即 。）因而此时（1）式就变为 ，这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，其通解为 ，式中A. 为任意常数，由初值条件给定。而
于是单摆的非线性的运动被线性地近似为简谐运动

一般在高考之类的考试中，认为10°以下可以这样近似。
事实上5°≈0.087266弧度，Sin 5°≈0.087155，二者相差只有千分之一点几，是十分接近的。在低精度的实验中，这种系统误差可以忽略不计（因为实验操作中的偶然误差就比它大）。但如果换成25°，误差高达百分之三，就不宜再看成是简谐振动了。
由于正弦函数的性质，这个近似是角度越小，越精确，角度越大越不精确。如果角度很大（比如60度处，误差高达17%），就完全不能说它是简谐振动了。
伽利略第一个发现摆的振动的等时性，并用实验求得单摆的周期随长度的二次方根而变动。惠更斯制成了第一个摆钟。单摆不仅是准确测定时间的仪器，也可用来测量重力加速度的变化。惠更斯的同时代人天文学家J.里希尔曾将摆钟从巴黎带到南美洲法属圭亚那，发现每天慢 2.5分钟，经过校准，回巴黎时又快 2.5分钟。惠更斯就断定这是由于地球自转引起的重力减弱。I.牛顿则用单摆证明物体的重量总是和质量成正比的。直到20世纪中叶，摆依然是重力测量的主要仪器。