如何用积分计算旋转体的体积？

Question

如题所述

Answer 1

解：见下图：这是用微元面积与旋转半径x*2π之积，用的是周长公式；考虑到图形以x轴为对称。用半圆做积分。√√√√

V=4π∫(1,3)xydx=4π∫(1,3)x√[1-(x-2)^2dx

=-2π∫(1,3)[(x-2)+2]√[1-(x-2)^2]d[1-(x-2)^2]

=-2π(2/3)√[1-(x-2)^2]^3](1,3)+8π∫(1,3)√[1-(x-2)^2d(x-2)

=0+4π{(x-2)√[1-(x-2)^2]+arcsin(x-2)}(1,3)

=4π[0+arcsin1-arcsin(-1)]=4π[π/2-(-π/2)]=4π^2