高中数学极值问题，基本不等式

Question

高中数学极值问题，基本不等式谢谢

Answer 1

因为b+c<=a，所以b/a+c/a<=1
令x=b/a，y=c/a，有x+y<=1，y<=1-x，其中0<x<1
则bc/(a^2+2ab+b^2)
=[(b/a)(c/a)]/[1+2(b/a)+(b/a)^2]
=xy/(1+x)^2
<=x(1-x)/(1+x)^2
=-(x^2-x)/(1+x)^2
=-(x^2+2x+1-3x-3+2)/(1+x)^2
=-[(1+x)^2-3(1+x)+2]/(1+x)^2
=-[2/(1+x)^2-3/(1+x)+1]
令t=1/(1+x)，则1/2<t<1

原式=-(2t^2-3t+1)
=-2(t^2-3t/2+1/2)
=-2[(t-3/4)^2-1/16]
=-2(t-3/4)^2+1/8
<=1/8
即最大值为1/8，当且仅当t=3/4，x=1/3，b/a=1/3，c/a=2/3时取到

Answer 2

如图

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