可导必连续的证明详解

Question

如题所述

Answer 1

可导必连续可以这样证明：

1、证明可导函数一定连续:

设函数y=f(x)在点x处可导,即limΔy/Δx（Δx趋近于0）=f′（x）存在,由具有极限的函数与无穷小的关系知道,Δy/Δx=f′(x)+α,其中α是当Δx趋近于0时的无穷小,

上式两边同乘以Δx得：Δy=f′(x)Δx+αΔx,由此可见,当Δx趋近于0时,y趋近于0.这就是说,函数y=f（x）在点x处是连续的（根据函数连续的定义）,所以可导必连续

2、但是需要说明的是连续函数不一定可导,

在此举例：y=|x|,此函数连续,但是在x=0处不可导.

3、由上面两点可得可导函数比连续函数的要求要高.

扩展：

可导一定连续，连续不一定可导。可以导的函数的话，如果确定-点那么就知道之后一点的走向，不会有突变。可以导的函数的话，如果确定一点那么就知道之后一点的走向，不会有突变。连续的函数不一定可导；

可导的函数是连续的函数；越是高阶可导函数曲线越是光滑；存在处处连续但处处不可导的函数。

连续求导的意思是：函数导数存在，导数是连续的，求导一定是连续的，但连续不一定可导，所以为了强调，习惯上说连续可导。

导数是微积分中一个重要的基本概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之间的商的极限。可微函数必须是连续的。不连续函数必须是不可微分的。

连续性是可微的必要但不充分条件。函数可微的充要条件是：函数在该点连续且左导数和右导数均存在且相等。连续函数是这样一种函数，其中输出的变化足够小，输入的变化也足够小。