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证明:对于任何自然数n,在n到n!之间一定能找到一个数p,使得p为质数
n大于一
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推荐答案 推荐于2017-10-09
对于任何自然数n,在n到n!之间一定能找到一个数p,使得p为质数。
1、因为质数的定义与自然数0、1、2的特殊性,此证明设定自然数n>2。
2、考虑n!-1这个数,显然有n<n!-1<n!。
3、若n!-1为质数,那么原命题得证。
4、若n!-1不是质数,由n>2知n!-1>1,所以n!-1为合数,设其一个质因数为p。
5、假设p≤n,那么p|n!,又p|n!-1,所以p|1,这显然是不可能的,于是得p>n。
6、又显然p<n!-1<n!,得n<p<n!,所以n到n!之间也一定有一个质数。
7、综上所述,无论n!-1是否为质数,n与n!之间一定有一个是质数。
8、自然数是非负整数(0, 1, 2, 3, 4……)。质数又称素数,有无限个。一个大于1的自然数,除了1和它本身外,不能被其他自然数整除,换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数;否则称为合数。最小的质数是2。
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其他回答
第1个回答 2018-10-07
这道题的结论是相当弱的
搜索一下切比雪夫定理 是说n和2n之间必有至少一个素数 只是它相当难证 但结论非常漂亮
第2个回答 2011-08-09
伯特兰-切比雪夫定理的弱化,
http://baike.baidu.com/view/1556298.htm
伯特兰-切比雪夫定理:对于任意的n,[n,2n]中必存在一个素数。
第3个回答 2011-08-09
证:
n为素数时,取p=n即可
n不为素数时,设小于n的所有素数为p1,p2,…,pk
令A=p1p2…pk +1
显然A≤n!
而(A,p1)=1,(A,p2)=1,…,(A,pk)=1
所以A不被p1,p2,…,pk整除,即A含有不等于p1,p2,…pk的素因子,设它为p
p≤A≤n!,而由假设,p>n
证毕本回答被提问者采纳
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