（1）开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方

Question

（1）开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即 ，k是一个对所有行星都相同的常量。将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式。已知引力常量为G，太阳的质量为M 太 。（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立。经测定月地距离为3.84×10 8 m，月球绕地球运动的周期为2.36×10 6 S，试计算地球的质M 地 。（G=6.67×10 -11 Nm 2 /kg 2 ，结果保留一位有效数字）

Answer 1

解：（1）因行星绕太阳作匀速圆周运动，于是轨道的半长轴a即为轨道半径r。根据万有引力定律和牛顿第二定律有 ① 于是有 ② 即 ③ （2）在月地系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R，周期为T，由②式可得 ④ 解得M 地 =6×10 24 kg ⑤ （M 地 =5×10 24 kg也算对）