函数奇偶性

Question

定义在R上的函数f(X)=-f(x+2),且当x∈(-1,1]时,f(x)=x*x+2x
(1)求当x∈(3,5]时,f(x)的解析式
(2)判断f(x)在(3,5]上的增减性并证明

Answer 1

(1).
f(X)=-f(x+2)
f(x+2)=-f(x+2+2)=-f(x+4)
f(x)=-f(x+2)=f(x+4)
所以f(x)的周期是4
当x∈(-1,1]时,f(x)=x*x+2x
所以当x∈(3,5]时
f(x)=(x-4)*(x-4)+2(x-4)=x^2-6x+8

所以f(x)=x^2-6x+8（x∈(3,5])
(2).
f(x)=x^2-6x+8在(3,5]
的单调性是单调递增的

证明：另3<x1<x2<=5
f(x1)-f(x2)=x1^2-6x1+8-x2^2+6x2-8
````````````=(x1^2-x2^2)-6(x1-x2)
````````````=(x1-x2)(x1+x2-6)
因为x1<x2;所以x1-x2<0
因为x1>3;x2>3;所以x1+x2>6
x1+x2-6>0

所以(x1-x2)(x1+x2-6)<0
即f(x1)-f(x2)<0
f(x1)<f(x2)
且x1<x2
所以f(x)在(3,5]上的增减性是单调递增的

Answer 2

提示一下,自己思考去:
(1)由f(x) = f(x + 2)知道f(x)周期是2,那么在(1,3]和(3,5]上分别用x+2代入到(-1,1]的解析式就很容易求得xE(3,5]的解析式了!
(2)由第一问知道了f(x)在(3,5]上的解析式,第二问就可以用导数求解.很容易么???