线性代数 基础解系

Question

设n阶方阵A=[aij]的秩为n,以A的前r（r<n)行为系数的齐次线性方程组为
a11*x1+a2*x2+……+a1n*xn=0
……
ar1*x1+ar2*x2+……+arn*xn=0 （I）
求证
η r+1=[Ar+1,1 Ar+1,2 ……Ar+1,n]T
……
η r=[An1,An2,……Ann]T为方程组（I）的一个基础解系，其中Aij为行列式|A|中元素aij饿代数余子式。
η n(是n不是r，上面打错了）=[An1,An2,……Ann]T为方程组（I）的一个基础解系，其中Aij为行列式|A|中元素aij饿代数余子式。

Answer 1

A可逆，故由AA*=det(A)E知A*可逆，因此题目给出的的n-r个向量是A*的后n-r列，是线性无关的，只要证明他们是第一个方程组的解即可。由AA*=det(A)E知，A的第i（i=1,2.。。，r）行与A*的第j（j=r+1,...,n）列相乘为0，恰好就说明他们是（1）的解。

Answer 2

首先易得解空间的维数是n-r
r(A)=n,所以A*的秩也是n，这个可以直接由公式得，几乎都不用证的。
r(A*)=n，就是A*可逆，所以A*的列向量组线性无关，而待证的那一组向量就是A*的列向量组中的，所以线性无关，又刚好是n-r个，所以可以作为一组基，也就是方程组的一个基础解系

Answer 3

Answer 4