已知函数f(x)=(1/4)x^4+x^3-(9/2)x^2+cx有三个极值点
已知函数f(x)=(1/4)x^4+x^3-(9/2)x^2+cx有三个极值点，若存在c，使函数f(x)在区间(a,a+2)上单调递减，求a的取值范围
f'(x)=x³+3x²-9x+c
f''(x)=3x²+6x-9=3(x²+2x-3)=3(x+3)(x-1)
故一阶导函数f'(x)在(--∞,-3),(1,+∞)为增，(-3,1)为减
根据题意f(x)有三个极值点可知f'(x)有三个变号零点，即只需要f‘(-3)＞0且f'(1)<0
存在c∈(-27,5),使得f'(x)=x³+3x²-9x+c≤0在(a,a+2)恒成立
令g(x)=x³+3x²-9x
即存在-c∈(-5,27),使得g(x)≤-c在x∈(a,a+2)恒成立 ...(*)
画出g(x)的大致图像，常函数h(x)=-c(值域为(-5,27))
将(*)式转换成图像的语言：即在间距为2的区间上找到g(x)的图像比【从y=-5到y=-27的直线簇的一条直线】低
由x³+3x²-9x=27解得x=-3或x=3，即y=27与g(x)的在第一象限的横坐标
由题意可知该区间要么在x=-3左边，或者在区间(-3,3)
∴只需要a+2＜-3 或 -3<a且a+2<3
∴a<-5 或-3<a<1
“由题意可知该区间要么在x=-3左边，或者在区间(-3,3)
∴只需要
命题P：“该区间要么在x=-3左边，或者在区间(-3,3)”
命题Q：“a的取值范围是(负无穷,-5)U(-3,1)”
P是Q的必要条件，不充分
(-∞,-3)U(-3,3)
你再仔细看看。能到-3那的。
(-∞,-3)U(-3,3)错了，你还是好好研究吧，应该是a+2<-3 a<-5
追答我是说区间会落在这里的，我刚开始就这么算了呀，你自己看看吧，我最开始回答的就是a<-5.
我给你的区间(-∞,-3),(-3,3)指点是符合的区间(a,a+2)会分别落在那两种区间里的。
命题P：“区间(a,a+2)会分别落在两个区间(-∞,-3),(-3,3)里”
命题Q：“a的取值范围是(-∞,-5)U(-3,1)”
P是Q的必要条件，不充分。你不认为吗？？？？
参考资料：希望有些人说话不要太傲，坚决抵制“贬我团队”者！
f''(x)=3x²+6x-9=3(x+3)(x-1), f''(x)有两零点, 或曰 f'(x)有两驻点x=-3, 1
f(x)有3个极值, 那么 f'(x)有3个不同的零点, 从左至右设为x1, x2, x3.
由罗尔定理知, 且x1<-3<x2<1<x3.
f'(-3)=27+c, f'(1)=c-5, 两相比较知前者是f'(x)的极大值, 后者是f'(x)的极小值。
故f'(x)在(-∞,-3)单増, (-3, 1)单减, (1, ＋∞)单增。
又f'(x2)=0, x2∈(-3,1), 所以f(-3)>0>f(1), 即-27<c<5.
f'(x)在(-∞,x1)∪(x2, x3)内为负, 即f(x)在此范围单减. 其间夹着一个单增区间(x1, x2).
f(x)的这个单减范围随c而变化, 可记为Fc=(-∞,x1)∪(x2, x3).
对给定的c, a的取值范围记为Ac, 显然
Ac=(-∞,x1-2)∪(x2, x3-2), 当x3-x2>2时，或者
Ac=(-∞,x1-2), 当x3-x2<2时。
当 c 跑遍区间(-27, 5)时, 各Ac之并就是最后所要的a的取值范围A。
易知，在区间(-27,5)中, 若c1<c2, 则Fc1包含Fc2, Ac1包含Ac2, 故A=lim{c→-27}Ac
当c→-27时, 区间(x1, x2)收缩到点(-3), f'(x)→(x+3)²(x-3), 得x3→3,
所以lim{c→-27}Fc=(-∞,-3)∪(-3, 3), A=lim{c→-27}Ac=(-∞,-5)∪(-3, 1).追问
“易知，在区间(-27,5)中, 若c1<c2, 则Fc1包含Fc2”
没根据
由f'(x) 的单调区间的划分可知, 当在(-27, 5)内 c↓时, x1↑, x2↓, x3↑. 证明如下：
f'(x)在(-∞,-3)单増, (-3, 1)单减, (1, ＋∞)单增
x1∈(-∞,-3)单增区间, x2∈(-3,1)单减区间, x3∈(1, +∞)单增区间
当c↓, 曲线f'(x)下移, 相对而言, 坐标轴上移，即零点沿f'(x)曲线上移, 那么位于增区间的零点就右移，位于减区间的零点就左移, 即 x1↑, x2↓, x3↑.
本来我想看看有没有更好的初等方法，你非要用连续和极限来解题，总的来说没什么大问题，只是这道题是高中的题，这个方法不适合高中生，但还是采纳你的吧。
参考资料：7#的bd_yh的图
本回答被提问者采纳下面是我的解法：
首先我已经了解到你已经做到 f'(x)=x^3+3x^2-9x+c只要满足f'(-3)>0和f（1）<0就可以满足条件啦，这样的话c的取值范围就是（-27,5）了
那么题中要求求的是a的取值范围，而且题中c是一个常数但是未知，这就给题增加了一些隐含的意味，那么题的意思就是说：无论c取（-27,5）中的哪一个数，都要求满足函数f(x)在区间(a,a+2)上单调递减，也就是f'(x)=x^3+3x^2-9x+c=0.。
这你就可以用极限的方法解决啦，首先当c=1的时候f'(x)=x^3+3x^2-9x+c只有在x轴左边才会满足f'(x)=x^3+3x^2-9x+c=0的条件，这就将a的取值范围限定了很多。
然后就是解决f‘（x）恒小于0的x对应的最大值是多少。
仔细分析你可以知道当x=5时，左端f’（x）取得值最小，也就是说左端只要满足c=5是左端满足f’（x）<0，则对应c的所有值都可以满足f’（x）小于0。
带入c=5，可以得到左端x=-5时，f‘（x）=0.则要满足条件只需要，a+2<=-5(由于是极限问题，不可能取到5，所以这儿可以取到等号)，则可以得到a<=-7
这就是答案的完整思路，不过你还是要自己分析，只有自己把思路缕通你才能真正理解，还有什么问题的话可以继续追问
另外学懂了之后，也要记得给我回馈哦，以后有什么问题还可以继续问，这种只是我高中的时候卷子都做好好多好多份了呢追问
“当c=1的时候f'(x)=x^3+3x^2-9x+c只有在x轴左边才会满足f'(x)=x^3+3x^2-9x+c=0的条件，”
c=1 f'(x)=x^3+3x^2-9x+1 f'(0)=1>0 f'(1)=-4<0
在(0,1)上就存在f'(x)的零点
“这就是答案的完整思路，不过你还是要自己分析，只有自己把思路缕通你才能真正理解，还有什么问题的话可以继续追问
另外学懂了之后，也要记得给我回馈哦，以后有什么问题还可以继续问，”
不懂装懂，好为人师
你做题认真点，你没发现你接f‘（1）的时候解错了吗？1是这个范围内唯一的0点，显然不满足条件的，仔细分析一下，还有大胆质疑是好的，不过不要轻易去泯灭一个人的人格。
追问你会算，你算算，f'(1)=？？？？？
追答好吧，我丢人了，那儿写错了，我写的应该是c=5，因为c的范围是（-27，5）不是c=1，太丢人啦，不过我还真不是老师，我也是学生，我再给你检查一下别的地儿有没有错误，思路绝对是对的，这个你放心好啦
f'(x)=x^3+3x^2-9x+c，取c=-2(不要取c=-27或c=5,那样会产生二重根，得不到3个极值点)
从而x^3+3x^2-9x-2=x^3-2x^2+5x^2-10x+x-2=x^2(x-2)+5x(x-2)+(x-2)=(x-2)(x^2+5x+1）
所以由f'(x)=0得(x-2)(x^2+5x+1)=0
得三个驻点（也是极点）分别是（-5-根号21）/2， （-5+根号21）/2， 2
根据导数的正负号规律，容易知道：
在区间（负无穷大，（-5-根号21）/2）和区间 (（-5+根号21）/2， 2)内函数是单调递减的
由此得，
a的范围应满足：
a+2<=（-5-根号21）/2 或（-5+根号21）/2<=a<a+ 2<=2
a<=[（-5-根号21）/2]-2 或（-5+根号21）/2<=a<=0
你觉得这样解有道理吗？期待你认同我的做法！
您是正方形团队的，您是5级高手，希望得到您的回馈信息！追问
你这只是c=2的情况呀，题中没给条件c=2呀，c取别的数(-27到5之间的数)，a的取值范围也就变了吧。
追答我还是想和你探讨以下该题，你的题目说“若存在c，使函数f(x)在区间(a,a+2)上单调递减，求a的取值范围”。我当然知道c取值不同，a的范围会发生变化了，因为c的不同，f'(x)=0的三个根也不同，没有规律可循。即三个极值点就不同。从而单调区间也就不同，得到a的范围当然随之变化了。我们把存在的c找到 一个，就可以举一反三。
追问“我们把存在的c找到 一个，就可以举一反三”
做数学题，你还是别举一反三吧
你只说c=2，它代表不了c=3。
而c=3也是存在符合条件的c
f''(x)=3x^2+6x-9=0时，x=-3,1
因此，f'(x)的一个实数解位于区间(-3,1)
即，f'(-3)>0,f'(1)<0 ==>
f(x)单调递减，即f'(x)<0
由上-27<c<5，并且f'(-3)=f'(3)=27+c>0
因此，若存在实数c使在区间[a,a+2]上f'(x)<0
有：a<-5，或-3<a<1追问
由上-270
因此，若存在实数c使在区间[a,a+2]上f'(x)<0
有：a<-5，或-3<a<1
看不懂，你懂吗？？？
不是特别清楚， -3<a<1这个分支是对的。
另一个分支从Geogebra几何作图软件看是最左边的递减部分，
极小值点是-9.65, a=-11.65才能对上 [a.a+2]递减。