已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d是R上的奇函数,且在x=1时取得极小值-2/3

Question

已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d是R上的奇函数,且在x=1时取得极小值-2/3
1）求函数f（x）的解析式
2）对任意X1，X2∈[-1,1]证明|f（x1）-f（x2）|≤4/3

Answer 1

函数f（x） 为奇函数，

f(-x)=-f(x)

所以-[ax^3+bx^2+cx+d]=a(-x)^3+b(-x)^2-cx+d

所以b=0，d=0

所以f=ax^3+cx

f'=3ax^2+c

当x＝1时f（x）有极小值-3/2。

所以x=1是f'=0的一个根，所以3a+c=0

f(1)=a+c=-3/2

联立方程可得：a=3/4，c=-9/4

f(x)=3/4x^3-9/4x
=======================================================================
f'(x)=9/4x^2-9/4=9/4(x^2-1)
故当-1<x<1时,f'(x)<0,函数单调递减
故f(x)=<f(-1)=-3/4+9/4=3/2,f(x)>=f(1)=3/4-9/4=-3/2
所以,|f(x1)-f(x2)|<=3/2-(-3/2)=3

Answer 2

1）解：由f(-x)=-f(x)可知b=d=0,又f(1)是极小值，故
{f(1)=-2/3,f'(1)=0.解得a=1/3,c=-1.即f(x)=1/3x~3-x 2)证明：f'(x)=x~2-1<=0,(x€［-1,1］
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Answer 3

因为f（x）是奇函数，所以b=0,
又因为x=1取最小值，所以f(x)在x=1的导数为0,
即f'(x)=3ax^2+c,把x=1带入，得3a+c=0 ①
奇函数，在x=1取最小值，在x=-1取最大值
f(1)=a+c+d=-2/3 ②
f(-1)=-a-c+d=2/3 ③
可以解出来了
第二题就不用说了，在（-1,1）最大值2/3最小值-2/3

Answer 4

f（X)'=3aX^2+2bX+c，当X=1时，f（x）mix=-2/3。-2/3=3a+2b+c，后面还有个式子，忘了。不好意思，联合一下 算出a，b，c