连续函数f（x）满足：对于任何x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）⋅f（y）成立，且f（x）不是常数函数

Question

设f（1）=a，求证：对于任意x∈R，都有f（x）=a^x．

Answer 1

设任何n∈R，由f（x+y）=f（x）*f（y），
可得f（n+1）=f（n）*（1）=f（n-1）*f（1）*f(1)=。。。=f(1)^(n+1)
又f（1）=a，所以对于任意x∈R，都有f（x）=a^x．

Answer 2

因f(1)=a，f(x+y)=f(x)f(y）
所以f(x)=f(x-1+1)=f(x-1)f(1)=af(x-1)
所以f(x)=af(x-1)
所以f（x)=a^2f(x-2)=a^3f(x-3)=……=a^(x-1)f(1)=a^x

Answer 3

首先是在有理点处是显然满足的，然后利用函数的连续性并用有理点逼近无理点的方法证明上述命题，而且这道题还可以弱化条件，函数只要在某处连续就可以证明了，不过事实上，由该函数方程确定的解函数或者在R上处处连续，或者在R上处处不连续。此外，值得指出的是，该函数方程所确定的实函数存在处处不连续的解，证明过程需要用到Hamel基的概念（无线维线性空间的基），并且实数域R作为有理数域Q上的线性空间是无线维的（这是由于超越数不能成为整系数代数方程的解），构造这一处处不连续解的过程比较麻烦，这里就不赘述了。