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设函数f(x)=x2+aln(1+x)有两个极值点x1、x2,且x1<x2,求a的取值范围,并讨论f(x)的单调性;并证明:f(...
设函数f(x)=x2+aln(1+x)有两个极值点x1、x2,且x1<x2,求a的取值范围,并讨论f(x)的单调性;并证明:f(x2)>1-2ln2/4.
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推荐答案 2012-07-15
证明:设t=√(1-2a),则0<t<1,a=(1-t^2)/2,x2=(t-1)/2,
f(x2)=[(t-1)/2]^2+[(1-t^2)/2]ln[(t+1)/2],记为g(t)。
g’(t)=(t-1)/2+(1-t^2)/(t+1)-2tln[(t+1)/2]=(1-t)/2-2tln[(t+1)/2]>0,
∴g(t)>g(0)=1/4+(1/2)ln(1/2)= (1-2ln2)/4,
即f(x2)> (1-2ln2)/4.
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第1个回答 2012-02-16
f'(x)=2x+a/(1+x)=(2x^2+2x+a)/(1+x)
得2x^2+2x+a=0有两非零根,且1+x不=0,得a<1/2且a不=0
由f'(x)=2x^2+2x+a)/(1+x)得x<x1时f'(x)>0,f(x)递增;x1<x<x2时f'(x)<0,f(x)递减;x>x2时f'(x)>0,f(x)递增
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设函数f(x)=x2+aln(1+x)有两个极值点x1,x2,且x1
<x2
求a的取值范围,并讨
...
答:
解:(I)f′
(x)=
2x+ a
1+x
= 2
x2+
2x+
a
1+x (x>−1)令g
(x)=
2x2+2x+a,其对称轴为x=−1 2 .由题意知x1、x2是方程g(x)=0的两个均大于-1的不相等的实根,其充要条件为 △=4−8a>0 g(−1)=a>0 ,得0<a< 1 2
(1)
当x∈...
设函数f(x)=x
^
2+ aln(1+x)有两个极值点x1,x2,且x1
<x2。
求a的取值范围
...
答:
f(x)有两个极值点x1
与
x2,且x1
<x2,所以,f′
(x)=
0有两个不等的实根x1与x2,且 -1<x1<x2。因为 -1<x1 所以 x1+1>0 同理 -1<x2 所以 x2+1>0 所以得到(2
)
(x1
+1)+(x2+1)
>0 且得到 (3
),
(x1
+1)(x2+1)
>0 ...
设函数f(x)=x2+aln(1+x)有两个极值点x1
、
x2,且x1
<
x2,求a的取值范围,并
...
答:
即
f(x2)
> (1-2ln2)/4.
设函数f(x)=x2+aln(1+x)有两个极值点x1
、
x2,且x1
<x2.(Ⅰ)
求a的取值范
...
答:
(Ⅰ)求导函数可得f′
(x)=
2
x2+
2x+a1+x(x>?1)令g(x)=2x2+2x+a,其对称轴为x=-12.由题意知x1、x2是方程g(x)=0的两个均大于-1的不相等的实根,其充要条件为△=4-8a>0且g(-1)=a>0,得0<a<12 …(2分
)(1)
当x∈(-1
,x1
)时,f'(x)>0,∴
f
...
...
x 2 ,且x 1
<
x 2 ,(
Ⅰ
)求a的取值范围,并讨论f(x)
的单调
答:
函数f(x)
的定义域是x>-1, ,且f′
(x)=
0
有两个
不同的根x 1 、x 2 ,故2
x 2 +
2x+a=0的判别式△=4-8a>0,即
,且
,又x 1 >-1,故a>0,因此
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是 ,当x变化时
,f(x)
与f′(x)的变化情况如下表: 因此f(x)在区间(-
1,x 1
)和
(x 2 ,
...
...极点
x1
.
x2,且x1
大于x2
求a的取值范围,并讨论f(x)
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答:
f’
(x)=
2x+a/
(1+x)
=0,2x^2+2x+a=0有不等实根,4-8a>0,a<1/2。x1=[-1-√(1-2a)]/2,x2=[-1+√(1-2a)]/2,a≤0,x1≤-1
,a取值范围
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、
x 2 ,且x 1
<x 2...
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(x)=
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,(1)
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