设函数f（x）=x 2 +aln（1+x）有两个极值点x 1 、x 2 ，且x 1 ＜x 2 ，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x

Question

设函数f（x）=x 2 +aln（1+x）有两个极值点x 1 、x 2 ，且x 1 ＜x 2 ，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）求f（x 2 ）的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ） ， 令 ， 由题意知 是方程g（x）=0的两个均大于-1的不相等的实根， 其充要条件为 ， （1）当 ，∴f（x）在 内为增函数； （2）当 ，∴f（x）在 内为减函数； （3）当x∈ 时， ，∴f（x）在 内为增函数； （Ⅱ）由（Ⅰ）， ， ∴ ， ∴ ， 设 ， 则 ， （1）当 单调递增； （2）当 单调递减； ∴当 ， 故 。