∫-(x²-4x)/dx求不定积分

Question

如题所述

Answer 1

我们可以将被积函数拆分成两个部分：
J = ∫[(x^2 + 4x)^(-1)]dx = ∫(1/x^2)dx - ∫(4/x(x+4))dx
第一个积分可以直接用幂函数的不定积分公式求解：
∫(1/x^2)dx = -1/x + C1
其中C1是常数。
第二个积分可以拆分成两个部分：
∫(4/x(x+4))dx = ∫(1/x)dx - ∫(1/(x+4))dx
第一个部分可以用对数函数的不定积分公式求解：
∫(1/x)dx = ln|x| + C2
其中C2是常数。
第二个部分可以用换元法来求解。
令u = x + 4，则du/dx = 1，dx = du。代入原式得：
∫(1/(x+4))dx = ∫(1/u)du = ln|u| + C3
其中C3是常数。
将u代回x，得：
∫(1/(x+4))dx = ln|x+4| + C3
因此，将这两个部分相加，我们得到：
J = -1/x + ln|x| + ln|x+4| + C
其中C是常数。
因此，J的不定积分为：
∫[(x^2 + 4x)^(-1)]dx = -1/x + ln|x| + ln|x+4| + C

Answer 2

首先，我们可以将被积函数进行分解，得到：
∫-(x²-4x)/dx = ∫(-x²+4x)/dx = ∫(-x²)/dx + ∫(4x)/dx
现在，我们可以对每个不定积分进行求解：
∫(-x²)/dx = -x³/3 + C1
其中，C1表示任意常数。
∫(4x)/dx = 4∫(x)/dx = 4x + C2
其中，C2表示任意常数。
将两个积分结果相加，得到最终的不定积分：
∫-(x²-4x)/dx = ∫(-x²)/dx + ∫(4x)/dx = -x³/3 + 4x + C
其中，C = C1 + C2 表示任意常数。